数值分析考试复习总结Word格式.doc
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(3).
解
(1).
(2).
(3).□
第二章
拉格朗日插值公式(即公式
(1))
插值基函数(因子)可简洁表示为
其中:
.
例1n=1时,线性插值公式,
例2n=2时,抛物插值公式
牛顿(Newton)插值公式
由差商的引入,知
(1)过点的一次插值多项式为
其中
(2)过点的二次插值多项式为
其中
重点是分段插值:
1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式(结果要简化):
(1)
-1
1/2
1
-3
-1/2
(2)
-3/2
解
(2):
方法一.由Lagrange插值公式
可得:
方法二.令
由,,定A,B(称之为待定系数法)□
15.设,求在区间上的分段线性插值函数,并估计误差,取等距节点,且.
解,,,
设,则:
误差估计:
.□
第三章
最佳一致逼近:
(了解)
最佳平方逼近
主要分两种情形:
1.连续意义下
在空间中讨论
2.离散意义下
在维欧氏空间中讨论,只要求提供的样本值
1.最佳逼近多项式的法方程组
设的维子空间=span,
其中是的线性无关多项式系.
对,设其最佳逼近多项式可表示为:
由
即(*2)
其中
称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组).
由的线性无关性,可证明正定,即
上述法方程组的解存在且唯一.
11、求,的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解:
设,
分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。
内积
计算如下内积:
,
建立法方程组:
(1),得:
,
于是
(2)
解得:
,,,于是:
.□
第四章
1为什么要进行数值积分?
常用哪些公式,方法?
梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.
2:
方法好坏的判断:
代数精度
l误差分析
1.代数精度的概念
定义若求积公式(*)对所有次数的多项式是精确的,但对次多项式不精确,则称(*)具有次代数精度。
等价定义
若求积公式(*)对是精确的,但对不精确,则(*)具有次代数精度。
3:
误差
1等距剖分下的数值求积公式:
公式特点:
节点预先给定,均匀分布,系数待定
利用插值多项式近似代替,即得插值型求积公式Newton-Cotes公式
2给定节点数下的具有最佳逼近性质(具有最高次代数精度)的数值求积公式:
Gauss求积公式公式特点:
系数和节点均待定
3分段插值多项式近似代替(分段求积)复化求积公式
复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行,类似函数插值
分而治之:
分段+低次求积公式----------称为复化求积法
两类低次()求积公式:
1.Newton-Cotes型:
矩形、梯形、Simpson、Cotes公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2.Gauss型:
一点、两点、三点Gauss求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss公式
复化梯形公式()
复化辛甫生公式:
(每个上用辛甫生公式求积)
,为的中点
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。
常采用其等价形式:
复化柯特斯公式
其中,,为的中点,
,为的四等分的分点
l自适应复化求积法
计算时,要预先给定或步长,在实际中难以把握
因为,取得太大则精度难以保证,太小则增加计算工作量.
自适应复化梯形法的具有计算过程如下:
步1
步2
步3判断?
若是,则转步5;
步4,转步2;
步5输出.
第五章
1:
常用方法:
(1).直接解法:
逐步(顺序)消去法、
主元素法、矩阵分解法等;
(2).迭代解法:
构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①.经典迭代法
迭代法、迭代法、
逐次超松弛(SOR)迭代法等;
②.Krolov子空间的迭代法
根据的对称性,又分为:
对称正定-------共轭梯度法
非对称---------BICG、GMRes(最小残量法)
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
几类迭代法优缺点比较:
迭代方法
目标:
求解 其中,非奇异。
基本思想:
把线性方程组的解,化为一个迭代序列极限解
关键:
构造迭代序列所满足的公式:
迭代格式。
构造迭代格式基本步骤:
1.将分裂:
,其中,非奇异
2.构造迭代格式
其中,称之为迭代矩阵,
其中,为的残余向量
此时,
常用的迭代方法
将分裂为
其中
,,
lJacobi迭代方法
若,迭代格式
①
其中Jacobi迭代矩阵:
①式可写为分量形式
.(*1)
方法(*1)或①称为Jacobi迭代方法.
Gauss—Seidle迭代方法
②
其中,
Gauss-Seidel迭代矩阵:
其分量形式
.(*2)
即,
在计算新分量时,利用新值,。
迭代法(*2)或②称为Gauss—Seidel迭代方法。
l超松弛方法(SOR)方法
定义SOR方法的迭代格式如下:
(*3)
称为松弛因子,即为方法.
其矩阵形式
其中,
SOR法的迭代矩阵:
.
第七章
解非线性方程与方程组的方法:
1.准确方法
如:
用求根公式对次的代数多项式求根。
但:
绝大多数的方程并无准确方法可用。
如:
次的代数多项式并无求根公式。
2.数值方法(实际中大多采用)
设法找到一个能收敛到方程的解的序列。
(1).区间套法——二分法。
(2).迭代法:
①.简单迭代法;
②.Newton迭代法;
.割线法;
.加速算法。
收敛条件:
二分法无条件
简单迭代法条件:
定理1如果满足以下条件:
1),;
2)常数:
使得对任意两点,都有
则:
方程(*)在上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程(**)所产生的序列收敛到.
2.为求方程在附近的一个根,设将方程改写为下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
(1),迭代公式
(2),迭代公式,
(3),迭代公式,
试分析每一种迭代公式的收敛性,并问哪一种迭代收敛得快?
解:
取的邻域来考察
(1),,故迭代公式
(1)收敛.
(2),
,
故迭代公式
(2)也收敛。
(3),
故迭代公式(3)发散.
由于越小,越快地收敛于根,故
(2)式收敛最快。
□
第八章
解一阶常微分方程的常用方法:
Euler方法Runge-Kutta方法
2阶常微分方程边值问题的差分方法
1.三类边值问题
1)第一类边值问题:
,(3.1)
。
(3.2)
2)第二类边值问题:
,(3.3)
(3.4)
3)第三类边值问题:
,(3.5)
,(3.6)
其中,。
2.差分格式的建立
针对方程(3.1)而言.
Step1取的离散节点:
第步步长,一般可取等
步长:
Step2将用二阶差商、用一阶差商近似:
,
.
理由:
由Taylor展开,有
两式相加得
其中,.
两式相减得
Step3略去项,并记则由方程(3.1)有:
………………………………(3.7)
所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:
…(3.8)
.…………………………(3.9)
对第二边值条件(3.3),由于
其中,,,
已及
所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:
…(3.10)
.………(3.11)
类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).
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