曲线积分与曲面积分习题及答案Word文件下载.doc
- 文档编号:14624947
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:35
- 大小:1.81MB
曲线积分与曲面积分习题及答案Word文件下载.doc
《曲线积分与曲面积分习题及答案Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《曲线积分与曲面积分习题及答案Word文件下载.doc(35页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
21.计算曲面积分,其中为抛物面在平面上方的部分。
22.计算面面积分,其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。
24.求抛物面壳的质量,壳的度为。
25.求平面介于平面,和之间部分的重心坐标。
26.当为平面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?
27.计算曲面积分其中为柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前侧。
28.计算式中为球壳的外表面。
29.反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积化成对面积的曲面积分,其中是平面在第一卦限的部分的上侧。
30.利用高斯公式计算曲面积:
1),其中为平面,,,,,所围成的立体的表面和外侧。
2),其中为柱面与平面,所围立体的外表面。
31.计算向理穿过曲面流向指定侧的通量:
1),为立体,,,流向外侧;
2),为椭球面,流向外侧。
32.求向理场的散度。
33.利用斯托克斯公式计算曲经积分其中为圆周,,,若从轴正向看去,这圆周取逆时针方向。
34.证明,其中为圆柱面与的交线。
35.求向量场,其中为圆周,。
36.求向量场的旋度。
37.计算,其中为用平面切立方体,,的表面所得切痕,若从轴的下向看去与逆时针方向。
(B)
1.计算,其中为抛物线由到的一段。
2.计算,其中为摆线,一拱。
3.求半径为,中心角为24的均匀圆弧(线心度)的重心。
4.计算,其中为螺线,,。
5.计算,其中为空间曲线,,上相应于从0变到2的这段弧。
6.设螺旋线弹簧一圈的方程为,,,它的线心度为,求:
1)它关于轴的转动惯量;
2)它的垂心。
7.设为曲线,,上相应于从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。
8.计算,其中为圆周(按逆时针方向绕行)。
9.计算,其中为曲线,,,从到的一段。
10.计算,其中为方向为增大的方向。
11.验证曲线积分与路径无关并计算积分值。
12.证明当路径不过原点时,曲线积分与路径无并,并计算积分值。
13.利用曲线积分求椭圆的面积。
14.利用格林公式计算曲线积分,其中是圆周上由点到点的一段弧。
15.利用曲线积分,求笛卡尔叶形线的面积。
16.计算曲线积分,其中圆周,的方向为逆时针方向。
17.计算曲面积分,其中为抛物面在平面上的部分。
18.计算,其中是锥面被柱面所截得的有限部分。
19.求面心度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。
20.求均匀的曲面被曲面所割下部分的重心的坐标。
21.计算曲面积分,其中
。
22.计算,其中是平面,,,所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。
23.计算,其中为椭球面。
24.计算,式中为圆锥面的外表面。
25.设,是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,、依次表示,沿外法线方向的方向导数。
证明:
,其中是空间闭区域的整个边界曲面,这个公式叫做格林第二公式。
26.利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是螺旋线,,,从到的一段。
27.设是有两阶连续偏导数,求证:
(C)
1.求曲线的弧长,从到。
2.计算,其中为悬链线。
3.求均匀的弧,,的重心坐标。
4.计算,其中是沿由点逆时针方向到的半圆周。
5.设在内有连续的导函数,求,其中是从点到点的直线段。
6.计算,沿着不与轴相交的路径。
7.已知曲线积分与路径无关,是可微函数,且,求。
8.设在平面上有构成内场,求将单位质点从点移到场力所作的功。
9.已知曲线积分,其中为逆时针方向曲线:
1)当为何值时,使?
2)当为何值时,使取的最大值?
并求最大值。
10.计算其中为曲面的下侧。
11.计算,其中的方程为。
12.计算曲面积分,其中是曲线绕轴旋转一周所得曲面的外侧。
13.计算,其中为由点到点的上半圆周
14.证明与路径无关,其中不经过直线,且求的值。
15.求圆锥的侧面关于轴的转动惯量。
16.选择,值使为某个函数的全微分,并求原函数。
17.计算曲面积分,其中为曲面,平面,所围立体外面的外侧。
18.证明
1);
2)
1.解:
两点间直线段的方程为:
,
故
所以。
2.解:
的参数方程为,
则
所以
3.解:
故
4.解:
如图
:
,,
:
∴
5.解:
6.解:
7.解:
8.解:
直线段的方程为,化成参数方程为
,,,从1变到0
故
9.解:
直线的参数方程为
,,()
10.解:
11.解:
1)原式
2)原式
12.解:
1)的方向余弦,
2),
3),
13.解:
因为
故原积分与路径无关,于是
原式
。
14.解:
,,由,得
,解得
故当时,所给积分与路径无关
取计算,其中,,
15.解:
又
∴
16.解取,,,可得面积
设为在第I象限部分的面积,由图形的对称性所求面积
注:
还可利用
17.解:
,
因为,所以积分与路径无关
取路径
原式
18.解:
原式。
19.解:
原式
20.解:
1),故是某个的全微分。
21.解:
故原式
22.解:
这里为在第一象限部分
23.解:
24.解:
25.解:
平面这部分的面积
因而
故重心坐标为
26.解:
因为曲面积分有向曲面,所以当积分曲面取在的上侧时为正号,取在下侧时为负号
27,解:
,面积为0,
28.解:
根据轮换对称,只要计算
:
注意到:
,再利用极坐标可得
于是原式
29.解:
原式,这里,,是的法向理的方向余弦而是平面在第一卦限部分的上侧,取。
故原式。
30.解:
1)
原式
20,,
31.解:
。
32.解:
33.解:
取为平面,被所围成的部分的上侧,的面积为,的单位法向量为
。
34.证:
平面的单位法向理
由斯托克斯公式得
左边
35.解:
闭曲线是平面上的圆周(逆时针方向),它的参数方程为,,,故环流量为
.
36.解:
37.解:
证平面合科立方体内的部分为,它在平面上的射影为,面积为,取平面的上侧,单位法向量,于是由斯托克斯公式得
的参数方程,则
取坐标系如图,设重心坐标为,由扇形的对称性可知,又
5.解
1)
2)
由,,得
圆周的参数方程为,
如图,
,:
由于,
又,故曲线积分与路径无关,取折线,则原式。
12.解:
由于,,
又故当路径不过原点时,该曲线积分与路径无关,取折线,得
取参数方程,
面积
不是闭曲线,要用格林公式,先得补添路径,使其封闭,如图
故,所以
作代换,得曲线的参数方程
,,由于,
从而,故面积
16.解:
由于时,被积函数无意义,故所包围的区域不满足格林公式的条件,作一小圆挖去原点,作逆时针方向的圆周:
使全部补所包围,在和为边界的区域内,根据格要公式,有
∵,故上式为零
。
半球壳的方程为
。
质量为
从而垂心的坐标为
即重心坐标为。
由于曲面得分成上下两部分,记成,,又由
解得:
,,所以
证在,,平面上的部分分别为,,,在面上的部分为。
(另解:
可求得,由对称性可得原式也可用高斯公式)
,由轮换对称,只要计算积分再利用广义极坐标可得
于是原式。
证,分别为锥面的底面和侧面而,,为锥面外法线的方向余弦:
,则
又对上的任一点有
故在各坐标平面上射影分别为
于是
25.证:
由格林第一公式得
同理
两式相减得:
设,其中为从到的直线段,则为封闭曲线,由斯托克斯公式得
,其中是以为边界且与构成右手系的任曲面。
∴
27.证:
于是当时,有
当时,有
故当时,有
,于是
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 曲线 积分 曲面 习题 答案