定积分求曲边图形面积精析Word下载.doc
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一、利用定积分求平面曲边图形面积的步骤及理论
基本步骤:
①画图形②求交点③写积分④算面积。
基本理论:
①如果函数和在上可积,并且满足,
那么介于直线和曲线之间的图形面积可以表示为定积分:
.
②如果函数和在上可积,并且满足,
*注意:
在基本步骤中,第③步怎样写出图形面积对应的定积分表达式是重点也是难点,由于定积分值不一定为正,但平面曲边图形的面积总是正值,因此,在这里要注意准确把握基本理论,就是根据所画图形查找是否有一条曲线(直线)在另一条曲线(直线)之上,做积分变量不行就换做积分变量。
即:
①对于做积分变量时,;
②对于做积分变量时,。
二、定积分求平面曲边图形面积的典例精析
例1:
求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积。
解析:
①画图形:
如上图已知;
②求交点:
;
③写积分:
以作为积分变量,在上,,直线与曲线所围成的曲边图形面积:
在上,,同理可得图形面积为。
④算面积:
求得阴影部分面积:
。
【点评:
】本题严格按照文中所列方法步骤解题,条理清晰,形成固定算法,不易出错。
例2:
求抛物线与直线所围成图形的面积。
②求交点:
联立,解得交点为
③写积分:
先以作为积分变量,在积分上不是任意点都满足
(在上没有参与围成曲边图形面积),所以不选择;
再以作为积分变量,在上,,直线与曲线所围图形面积:
④算面积:
直线与曲线所围曲边图形面积(如上图所示):
】根据基本理论,为了满足不等关系,适当选取积分变量,会使计算变得简洁。
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- 关 键 词:
- 积分 求曲边 图形 面积
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