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360°
和差角公式:
·
和差化积公式:
倍角公式:
半角公式:
正弦定理:
·
余弦定理:
反三角函数性质:
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
中值定理与导数应用:
曲率:
定积分的近似计算:
定积分应用相关公式:
空间解析几何和向量代数:
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用:
方向导数与梯度:
多元函数的极值及其求法:
重积分及其应用:
柱面坐标和球面坐标:
曲线积分:
曲面积分:
高斯公式:
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
常数项级数:
级数审敛法:
绝对收敛与条件收敛:
幂级数:
函数展开成幂级数:
一些函数展开成幂级数:
欧拉公式:
三角级数:
傅立叶级数:
周期为的周期函数的傅立叶级数:
微分方程的相关概念:
阳光怡茗工作室
一阶线性微分方程:
全微分方程:
二阶微分方程:
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)式的通解
两个不相等实根
两个相等实根
一对共轭复根
二阶常系数非齐次线性微分方程
概率公式部分
1.随机事件及其概率
吸收律:
反演律:
2.概率的定义及其计算
若
对任意两个事件A,B,有
加法公式:
3.条件概率
乘法公式
全概率公式
Bayes公式
4.随机变量及其分布
分布函数计算
5.离散型随机变量
(1)0–1分布
(2)二项分布
若P(A)=p
*Possion定理
有
(3)Poisson分布
6.连续型随机变量
(1)均匀分布
(2)指数分布
(3)正态分布N(m,s2)
*N(0,1)—标准正态分布
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量(X,Y)的分布函数
边缘分布函数与边缘密度函数
8.连续型二维随机变量
(1) 区域G上的均匀分布,U(G)
(2)二维正态分布
9.二维随机变量的条件分布
10.随机变量的数字特征
数学期望
随机变量函数的数学期望
X的k阶原点矩
X的k阶绝对原点矩
X的k阶中心矩
X的方差
X,Y的k+l阶混合原点矩
X,Y的k+l阶混合中心矩
X,Y的二阶混合原点矩
X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差
X,Y的相关系数
X的方差
D(X)=E((X-E(X))2)
协方差
相关系数
线性代数部分
梳理:
条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。
沟通:
突出各部分内容间的联系。
充实提高:
围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用而简捷的方法。
大家要有这样的思想准备:
发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法是你不知道的。
但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。
基本运算
①
②
③
④
⑤或。
。
转置值不变
逆值变
,3阶矩阵
有关乘法的基本运算
线性性质,
结合律
不一定成立!
,
与数的乘法的不同之处
不一定成立!
无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵的每个多项式可以因式分解,例如
无消去律(矩阵和矩阵相乘)
当时或
由和
由时(无左消去律)
特别的设可逆,则有消去律。
左消去律:
右消去律:
如果列满秩,则有左消去律,即
可逆矩阵的性质
i)当可逆时,
也可逆,且。
数,也可逆,。
ii),是两个阶可逆矩阵也可逆,且。
推论:
设,是两个阶矩阵,则
命题:
初等矩阵都可逆,且
准对角矩阵
可逆每个都可逆,记
伴随矩阵的基本性质:
当可逆时,得,(求逆矩阵的伴随矩阵法)
且得:
伴随矩阵的其他性质
①,
③,
④
⑤,
⑥。
时,
关于矩阵右上肩记号:
,,,*
i)任何两个的次序可交换,
如,
等
ii),
但不一定成立!
线性表示
有解
有解
有解,即可用A的列向量组表示
,,
则。
,
则存在矩阵,使得
线性表示关系有传递性当,
则。
等价关系:
如果与互相可表示
记作。
线性相关阳光怡茗工作室
,单个向量,相关
,相关对应分量成比例相关
①向量个数=维数,则线性相(无)关
,有非零解
如果,则一定相关
的方程个数未知数个数
②如果无关,则它的每一个部分组都无关
③如果无关,而相关,则
证明:
设不全为0,使得
则其中,否则不全为0,,与条件无关矛盾。
于是。
④当时,表示方式唯一无关
(表示方式不唯一相关)
⑤若,并且,则一定线性相关。
证明:
记,,
则存在矩阵,使得。
有个方程,个未知数,,有非零解,。
则,即也是的非零解,从而线性相关。
各性质的逆否形式
①如果无关,则。
②如果有相关的部分组,则它自己一定也相关。
③如果无关,而,则无关。
⑤如果,无关,则。
推论:
若两个无关向量组与等价,则。
极大无关组
一个线性无关部分组,若等于秩,就一定是极大无关组
①无关
另一种说法:
取的一个极大无关组
也是的极大无关组相关。
证明:
相关。
③可用唯一表示
⑤
矩阵的秩的简单性质
行满秩:
列满秩:
阶矩阵满秩:
满秩的行(列)向量组线性无关
可逆
只有零解,唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩
②时,
③
⑤可逆时,
弱化条件:
如果列满秩,则
证:
下面证与同解。
是的解
是的解
可逆时,
⑥若,则(的列数,的行数)
⑦列满秩时
行满秩时
⑧
解的性质
1.的解的性质。
如果是一组解,则它们的任意线性组合一定也是解。
2.
①如果是的一组解,则
也是的解
是的解
特别的:
当是的两个解时,是的解
②如果是的解,则维向量也是的解是的解。
解的情况判别
方程:
,即
有解
无解
唯一解
无穷多解
方程个数:
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