成人高考专升本高等数学考前复习重点分析Word文件下载.doc

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1.函数的单调性:

y=f（x）,x∈D,x1、x2∈D

当x1＜x2时,若f（x1）≤f（x2）,

则称f（x）在D内单调增加（）；

若f（x1）≥f（x2）,

则称f（x）在D内单调减少（）；

若f（x1）＜f（x2）,

则称f（x）在D内严格单调增加（）；

若f（x1）＞f（x2）,

则称f（x）在D内严格单调减少（）。

2.函数的奇偶性：

D（f）关于原点对称

偶函数：

f（-x）=f（x）

奇函数：

f（-x）=-f（x）

3.函数的周期性：

周期函数：

f（x+T）=f（x）,x∈（-∞，+∞）

周期：

T——最小的正数

4.函数的有界性：

|f（x）|≤M,x∈（a,b）

㈢基本初等函数

1.常数函数：

y=c，（c为常数）

2.幂函数：

y=xn,（n为实数）

3.指数函数：

y=ax,（a＞0、a≠1）

4.对数函数：

y=logax,（a＞0、a≠1）

5.三角函数：

y=sinx,y=conx

y=tanx,y=cotx

y=secx,y=cscx

6.反三角函数：

y=arcsinx,y=arcconx

y=arctanx,y=arccotx

㈣复合函数和初等函数

1.复合函数：

y=f（u）,u=φ（x）

y=f[φ（x）],x∈X

2.初等函数:

由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

1.2极限

㈠极限的概念

1.数列的极限:

称数列以常数A为极限;

或称数列收敛于A.

若的极限存在必定有界.

2.函数的极限：

⑴当时，的极限：

⑵当时，的极限：

左极限：

右极限：

⑶函数极限存的充要条件：

定理：

㈡无穷大量和无穷小量

1.无穷大量：

称在该变化过程中为无穷大量。

X再某个变化过程是指：

2.无穷小量：

称在该变化过程中为无穷小量。

3.无穷大量与无穷小量的关系：

定理：

4.无穷小量的比较：

⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；

⑵若（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；

⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：

β～α；

⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。

若：

则：

㈢两面夹定理

1．数列极限存在的判定准则：

设：

（n=1、2、3…）

且：

则：

2．函数极限存在的判定准则：

对于点x0的某个邻域内的一切点

（点x0除外）有：

㈣极限的运算规则

若：

则：

①

②

③

推论：

③

㈤两个重要极限

1．或

2．

1.3连续

㈠函数的连续性

1.函数在处连续：

在的邻域内有定义，

1o

2o

左连续：

右连续：

2.函数在处连续的必要条件：

在处连续在处极限存在

3.函数在处连续的充要条件：

4.函数在上连续：

在上每一点都连续。

在端点和连续是指：

左端点右连续；

右端点左连续。

a+0b-x

5.函数的间断点：

若在处不连续，则为的间断点。

间断点有三种情况：

1o在处无定义；

2o不存在；

3o在处有定义，且存在，

但。

两类间断点的判断：

1o第一类间断点：

特点：

和都存在。

可去间断点：

存在，但

，或在处无定义。

2o第二类间断点：

和至少有一个为∞，

或振荡不存在。

无穷间断点：

和至少有一个为∞

㈡函数在处连续的性质

1.连续函数的四则运算：

设，

1o

2o

3o

2.复合函数的连续性：

则：

3.反函数的连续性：

㈢函数在上连续的性质

1.最大值与最小值定理：

在上连续在上一定存在最大值与最小值。

yy

+MM

f（x）f（x）

0abx

m

-M

0abx

a）有界定理：

在上连续在上一定有界。

3.介值定理：

在上连续在内至少存在一点

，使得：

，

其中：

yy

M

f（x）

Cf（x）

0aξbx

m

0aξ1ξ2bx

推论：

在上连续，且与异号在内至少存在一点，使得：

。

b）初等函数的连续性：

初等函数在其定域区间内都是连续的。

第二章一元函数微分学

2.1导数与微分

一、主要内容

㈠导数的概念

1．导数：

在的某个邻域内有定义，

2．左导数：

右导数：

定理：

在的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：

（或：

）

3.函数可导的必要条件：

在处可导在处连续

4.函数可导的充要条件：

存在，

且存在。

5.导函数：

在内处处可导。

y

6.导数的几何性质：

是曲线上点

处切线的斜率。

ox0x

㈡求导法则

1.基本求导公式：

2.导数的四则运算：

3.复合函数的导数：

，或

☆注意与的区别：

表示复合函数对自变量求导；

表示复合函数对中间变量求导。

4.高阶导数：

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。

㈢微分的概念

1.微分：

其中：

与无关，是比较高

阶的无穷小量，即：

则称在处可微，记作：

2.导数与微分的等价关系：

在处可微在处可导，

且：

3.微分形式不变性：

不论u是自变量，还是中间变量，函数的

微分都具有相同的形式。

2.2中值定理及导数的应用

㈠中值定理

1.罗尔定理:

满足条件:

y

aoξbxaoξbx

2.拉格朗日定理：

满足条件:

㈡罗必塔法则：

（型未定式）

和满足条件：

1o；

2o在点a的某个邻域内可导，且；

3o

☆注意：

1o法则的意义：

把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2o若不满足法则的条件，不能使用法则。

即不是型或型时，不可求导。

3o应用法则时，要分别对分子、分母

求导，而不是对整个分式求导。

4o若和还满足法则的条件，

可以继续使用法则，即：

5o若函数是型可采用代数变

形，化成或型；

若是型可

采用对数或指数变形，化成或型。

㈢导数的应用

1．切线方程和法线方程：

设：

切线方程：

法线方程：

2．曲线的单调性：

⑴

3.函数的极值：

⑴极值的定义：

设在内有定义，是内的一点；

若对于的某个邻域内的任意点，都有：

则称是的一个极大值（或极小值），