二次函数各种类型专题复习(有答案)Word下载.doc
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2、(09江津)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?
,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.
(1)将A(1,0),B(-3,0)代中得
∴
∴抛物线解析式为:
(2)存在理由如下:
由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称
∴直线BC与的交点即为Q点,此时△AQC周长最小
∵∴C的坐标为:
(0,3)直线BC解析式为:
Q点坐标即为的解 ∴∴Q(-1,2)
(3)答:
存在 理由如下:
设P点
∵
若有最大值,则就最大,
∴
==
当时,最大值=
∴最大=
当时,
∴点P坐标为
3、(2010常德)如图,已知抛物线与轴交于A(-4,0)和B(1,0)两点,与轴交于C点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设E是线段AB上的动点,作EF//AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;
(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.
(1)故所求二次函数的解析式为.
(2)∵S△CEF=2S△BEF,∴
∵EF//AC,∴,△BEF~△BAC,
∴得 E点的坐标为(,0).
(3)的解析式为.若设点的坐标为,
又点是过点所作轴的平行线与直线的交点,则点的坐标为(.则有:
==
即当时,线段取大值,此时点的坐标为(-2,-3)
二、二次函数与等腰三角形、直角三角形
4.(2011湘潭)如图,直线交轴于A点,交轴于B点,过A、B两点的抛物线交轴于另一点C(3,0).
⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的Q点坐标;
(1)∴抛物线的解析式为:
y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=,∴该抛物线的对称轴为x=1.
设Q点坐标为(1,m),则,
又.
当AB=AQ时,,解得:
,
∴Q点坐标为(1,)或(1,);
当AB=BQ时,,解得:
∴Q点坐标为(1,0)或(1,6);
当AQ=BQ时,,解得:
∴Q点坐标为(1,1).
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q(1,)、(1,)、(1,0)、(1,6)、(1,1),使△ABQ是等腰三角形.
5、如图①,已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
6、(2014•兰州)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出P点的坐标;
如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
考点:
二次函数综合题
分析:
(1)由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可;
(2)由
(1)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于P1,以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2,P3,作CE垂直于对称轴与点E,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论;
(3)先求出BC的解析式,设出E点的坐标为(a,﹣a+2),就可以表示出F的坐标,由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论.
解答:
(1)∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A(﹣1,0),C(0,2).
解得:
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+x+2;
(2)∵y=﹣x2+x+2,
∴y=﹣(x﹣)2+,
∴抛物线的对称轴是x=.
∴OD=.
∵C(0,2),
∴OC=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得
CD=.
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,
∴CP1=CP2=CP3=CD.
作CH⊥x轴于H,
∴HP1=HD=2,
∴DP1=4.
∴P1(,4),P2(,),P3(,﹣);
(3)当y=0时,0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1,x2=4,
∴B(4,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得
∴直线BC的解析式为:
y=﹣x+2.
如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣a+2),F(a,﹣a2+a+2),
∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN,
=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a),
=﹣a2+4a+(0≤x≤4).
=﹣(a﹣2)2+
∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,
∴E(2,1).
7、(2014绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,),顶点坐标为N(﹣1,),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?
若存在,求出Q点坐标;
(1)先由抛物线的顶点坐标为N(﹣1,),可设其解析式为y=a(x+1)2+,再将M(﹣2,)代入,得=a(﹣2+1)2+,解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式;
(2)先求出抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交点A、B,与y轴交点C的坐标,再根据勾股定理得到BC==2.设P(﹣1,m),显然PB≠PC,所以当△PBC为等腰三角形时分两种情况进行讨论:
①CP=CB;
②BP=BC;
(3)先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC,连结BC并延长至B′,使B′C=BC,连结B′M,交直线AC于点Q,由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小,由B(﹣3,0),C(0,),根据中点坐标公式求出B′(3,2),再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+,直线AC的解析式为y=﹣x+,然后解方程组,即可求出Q点的坐标.
解:
(1)由抛物线顶点坐标为N(﹣1,),可设其解析式为y=a(x+1)2+,
将M(﹣2,)代入,得=a(﹣2+1)2+,
解得a=﹣,
故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+;
(2)∵y=﹣x2﹣x+,
∴x=0时,y=,
∴C(0,).
y=0时,﹣x2﹣x+=0,
解得x=1或x=﹣3,
∴A(1,0),B(﹣3,0),
∴BC==2.
设P(﹣1,m),显然PB≠PC,所以
当CP=CB时,有CP==2,解得m=±
;
当BP=BC时,有BP==2,解得m=±
2.
综上,当△PBC为等腰三角形时,点P的坐标为(﹣1,+),(﹣1,﹣),(﹣1,2),(﹣1,﹣2);
(3)由
(2)知BC=2,AC=2,AB=4,
所以BC2+AC2=AB2,即BC⊥AC.
连结BC并延长至B′,使B′C=BC,连结B′M,交直线AC于点Q,
∵B、B′关于直线AC对称,
∴QB=QB′,
∴QB+QM=QB′+QM=MB′,
又BM=2,所以此时△QBM的周长最小.
由B(﹣3,0),C(0,),易得B′(3,2).
设直线MB′的解析式为y=kx+n,
将M(﹣2,),B′(3,2)代入,
得,解得,
即直线MB′的解析式为y=x+.
同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+.
由,解得,即Q(﹣,).
所以在直线AC上存在一点Q(﹣,),使△QBM的周长最小.
8、如图,在平面直角坐标系中,己知点O(0,0),A(5,0),B(4,4).
(1)求过O、B、A三点的抛物线的解析式.
(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大,求点M的坐标.
(3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当△PQB为等腰三角形时,求m的值.
二次函数综合题.
专题:
压轴题;
分类讨论.
(1)由于抛物线与x轴的两个交点已知,因此抛物线的解析式可设成交点式,然后把点B的坐标代入,即可求出抛物线的解析式.
(2)以O、A、B、M为顶点的四边形中,△OAB的面积固定,因此只要另外一个三角形面积最大,则四边形面积即最大;
求出另一个三角形面积的表达式,利用二次函数的性质确定其最值;
本问需分类讨论:
①当0<x≤4时,点M在抛物线OB段上时,如答图1所示;
②当4<x≤5时,点M在抛物线AB段上时,图略.
(3)△PQB为等腰三角形时,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解:
①若点B为顶点,即BP=BQ,如答图2﹣1所示;
②若点P为顶点,即PQ=PB,如答图2﹣2所示;
③若点P为顶点,即PQ=QB,如答图2﹣3所示.
(1)∵该抛物线经过点A(5,0),O(0,0),
∴该抛物线的解析式可设为y=a(x﹣0)(x﹣5)=ax(x﹣5).
∵点B(4,4)在该抛物线上,
∴a×
4×
(4﹣5)=4.
∴a=﹣1.
∴该抛物线的解析式为y=﹣x(x﹣5)=﹣x2+5x.
(2)以O、A、B、M为顶点
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