高数中需要掌握证明过程的定理.doc
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高数中的重要定理与公式及其证明
(一)
考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。
因此,在这方面可以有所取舍。
应深受大家敬佩的静水深流力邀,也为了方便各位师弟师妹复习,不才凭借自己对考研数学的一点了解,总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。
这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,从长远来看都是应当熟练掌握的。
由于水平有限,总结不是很全面,但大家在复习之初,先掌握这些公式定理证明过程是必要的。
1)常用的极限
,,,,
【点评】:
这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想过它们的由来呢?
事实上,这几个公式都是两个重要极限与的推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明:
:
由极限两边同时取对数即得。
:
在等式中,令,则。
由于极限过程是,此时也有,因此有。
极限的值与取极限的符号是无关的,因此我们可以吧式中的换成,再取倒数即得。
:
利用对数恒等式得,再利用第二个极限可得。
因此有。
:
利用对数恒等式得
上式中同时用到了第一个和第二个极限。
:
利用倍角公式得。
2)导数与微分的四则运算法则
【点评】:
这几个求导公式大家用得也很多,它们的证明需要用到导数的定义。
而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点,通过这几个公式可以强化相关的概念,避免到复习后期成为自己的知识漏洞。
具体的证明过程教材上有,这里就不赘述了。
3)链式法则
设,如果在处可导,且在对应的处可导,则复合函数在处可导可导,且有:
【点评】:
同上。
4)反函数求导法则
设函数在点的某领域内连续,在点处可导且,并令其反函数为,且所对应的的值为,则有:
【点评】:
同上。
5)常见函数的导数
,
,,
,,
,
【点评】:
这些求导公式大家都很熟悉,但很少有人想过它们的由来。
实际上,掌握这几个公式的证明过程,不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点,对极限的计算也是很好的练习。
现选取其中典型予以证明。
证明:
:
导数的定义是,代入该公式得
。
最后一步用到了极限。
注意,这里的推导过程仅适用于的情形。
的情形需要另行推导,这种情况很简单,留给大家。
:
利用导数定义,由和差化积公式得。
的证明类似。
:
利用导数定义。
的证明类似(利用换底公式)。
:
利用导数定义。
的证明类似(利用对数恒等式)。
6)定积分比较定理
如果在区间上恒有,则有
推论:
ⅰ如果在区间上恒有,则有;
ⅱ设是函数在区间上的最大值与最小值,则有:
【点评】:
定积分比较定理在解题时应用比较广,定积分中值定理也是它的推论。
掌握其证明过程,对理解及应用该定理很有帮助。
具体的证明过程教材上有。
7)定积分中值定理
设函数在区间上连续,则在积分区间上至少存在一点使得下式成立:
【点评】:
微积分的两大中值定理之一,定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论,在证明题中有重要的作用。
考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目,重要性不严而喻。
具体证明过程见教材。
8)变上限积分求导定理
如果函数在区间上连续,则积分上限的函数在上可导,并且它的导数是
设函数,则有。
【点评】:
不说了,考试直接就考过该定理的证明。
具体证明过程见教材。
9)牛顿-莱布尼兹公式
如果函数在区间上连续,则有,其中是的原函数。
【点评】:
微积分中最核心的定理,计算定积分的基础,变上限积分求导定理的推论。
具体证明过程见教材。
10)费马引理:
设函数在点的某领域内有定义,并且在处可导,如果对任意的,有,那么
【点评】:
费马引理是罗尔定理的基础,其证明过程中用到了极限的保号性,是很重要的思想方法。
具体证明过程见教材。
11)罗尔定理:
如果函数满足
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间上可导
(3)在区间端点处的函数值相等,即
那么在内至少存在一点,使得。
【点评】:
罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理是一脉相承的三大定理;它们从形式上看是由特殊到一般,后面的定理包含前面的定理,但实际上却是相互蕴含,可以相互推导的。
这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。
中值定理的证明是高数中的难点,一定要多加注意。
具体证明过程见教材。
12)拉格朗日中值定理:
如果函数满足
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间上可导
那么在内至少存在一点,使得。
【点评】:
同上。
13)柯西中值定理:
如果函数和满足
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间上可导
那么在内至少存在一点,使得。
【点评】:
同上。
14)单调性定理:
设函数在上连续,在上可导。
如果在上有,那么函数在上单调递增。
如果在上有,那么函数在上单调递减。
【点评】:
这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解,但实际证明中却不能用图形来解释,需要更严密的证明过程。
证明:
仅证明的情形,的情形类似。
,假定
则利用拉个朗日中值定理可得,使得。
由于,因此。
由的任意性,可知函数在上单调递增。
14)(极值第一充分条件)
设函数在处连续,并在的某去心邻域内可导。
ⅰ)若时,而时,则在处取得极大值
ⅱ)若时,而时,则在处取得极小值;
ⅲ)若时,符号保持不变,则在处没有极值;
【点评】:
单调性定理的推论,具体证明过程见教材。
15)(极值第二充分条件)
设函数在处存在二阶导数且,那么
ⅰ)若则在处取得极小值;
ⅱ)若则在处取得极大值。
【点评】:
这个定理是判断极值点最常用的方法,证明过程需要用到泰勒公式。
证明:
仅证明的情形,的情形类似。
由于在处存在二阶导数,由带皮亚诺余项的泰勒公式得。
在的某领域内成立
由于,因此
由高阶无穷小的定义可知,当时,有,又由于,因此在的某领域内成立。
进一步,我们有。
也即,在的某领域内成立。
由极值点的定义可知在处取得极小值。
16)洛必达法则
设函数在的空心邻域内可导,,且
则有,其中可以是有限数,也可以是。
【点评】:
洛必达法则是计算极限时最常用的方法,但它的证明却很少有人关注。
洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论,证明过程比较简单,也是一个潜在的考点,需要引起注意。
具体证明过程见教材。
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- 高数中 需要 掌握 证明 过程 定理