固体物理测试卷合集Word下载.doc
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长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波,但见到晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
6.为什么价电子的浓度越高,电导率越高?
电导σ是金属导电能力的量度。
导电能力取决于单位时间内通过切面积的电子数。
但并不是所有价电子对导电都有贡献,对导电有贡献的是费米面附件的电子。
费米球越大,对导电有贡献的电子数目就越多。
费米球的大小取决于费米半径
可见电子浓度n越高,费米球越大,对导电有贡献的电子数目就越多,该金属的电导率就越高。
图-1
二、(15分)图B3-1表示一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体,其中正三边形的边长为a。
请分析并找出其基元,画出其Bravais格子、初基元胞和W-S元胞,并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。
基元:
Bravais格子
初基元胞
W-S元胞
基矢:
!
注意:
从第三.1题和第三.2题中选做其中一个题
三、1(10分)原子是具有自旋1/2的费米子。
在绝对零度附件,液体的密度为。
计算费米能量和费米温度。
原子的质量为。
的自旋为1/2,是费米子,其质量。
在密度的液体中,单位体积中的数目为:
其费米能为:
将n,m值带入;
得到:
其费米温度为:
三.2(10分)求出bccBravais格子(110)晶面族的晶面上的格点数密度和面距离。
【解答】
晶面
格点数面密度
面距离
bcc
{100}
四、(15分)考虑晶格常数为a和c的三维简单六角晶体的第一布里渊区。
令为平行于晶格c轴的最短倒格矢。
(1)证明对于六角密堆积结构,晶体势场的傅里叶分量为零。
(2) 是否也为零?
(3)为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体?
(4)为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体?
(1)证:
由教材p61(3.2.30)和(3.2.31)两式,对于基元中原子数p>
1的复式晶格,且由同种原子组成的基元,有:
①
②
Hcp结构初基矢量的一种取法
其中:
是复式晶格的某一倒格矢的傅里叶分量。
是同种原子组成的基元的几何结构因子。
由②式可知,对于复式晶格的某一倒格矢,如结构因子为零,则周期势相应的傅里叶分量也为零。
因此,来计算对于六角密堆积结构:
六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角,相应的基元包括两个同种原子,它们的坐标是,,如图所示:
将以上关系代入结构因子的表达式①中,得:
③
据题意,本题中
代入③得:
故对于六角密堆积结构,晶体势场的傅里叶分量为零。
(2)解:
代入
(1)问③式中,得:
故:
不为零。
(3)对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体,每个单胞有两个价电子,N个单胞有2N个价电子,刚好可以填满第一布里渊区(一个能带),故原则上可以形成绝缘体(如果没有能带交迭)。
(4)对于单价原子的六角密堆积结构,虽然每个单胞也有两个价电子,N个单胞有2N个价电子,但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失,和第二布里渊区连通,形成一个复合区,可以容纳4N个电子,2N个电子只能填充这个复合区的一半,于是,在外加电场下可以导电。
因而单价原子的六角密堆积原则上不可能形成绝缘体。
五、(15分)用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的函数。
(1)面心立方结构晶体具有12个第一近邻,它们的格矢如下
个,个,个
于是
同理可得:
由教材(3.3.10)式及(3.3.13)式可知,
S态能带为:
(2)
体心立方结构晶体具有8个第一近邻,它们的格矢如下
仿照面心立方结构的情形有:
从第六.1题和第六.2题中选做其中一个题
六、1(15分)计算一维单原子链的动量。
应用周期性边界条件,证明波矢时,,即声子不携带动量。
证明:
对于波矢为q,频率为的一维单原子链的格波:
⑴
原子链上第n个原子的动量为:
⑵
原子链的总动量为:
⑶
式中N是原子链上的原子数。
由周期性边界条件:
式⑶化为:
⑷
利用公式:
式⑷化为:
⑸
当时(即)时,式⑸中的,因而有
的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的,由于每个原子有一定位相差,原子链的总动量为零,这表明声子是不携带物理动量的。
六、2(15分)对于原子间距为a,由N个原子组成的一维单原子链,在德拜近似下
(1)计算晶格振动频谱;
(2)证明低温极限下,比热正比于温度T
图5.4一维单原子链德拜模型色散关系
(1)按照德拜模型,格波的色散关系,即振动频谱为 ⑴
对于原子间距a为一维单原子链色散曲线如图示:
由色散曲线的对称性可以看出,区间对应两个同样大小的波矢区间,区间对应N个振动模式,单位波矢区间对应有个振动模式。
范围则包含:
⑵
个振动模式
则有 ⑶
其中是单位频率区间包含的振动模式数目,即模式密度。
由⑵式有
由⑴式有
上两式联合得出 ⑷
将⑷式代入⑶,得
(2)证明:
N个原子构成的一维单原子链,晶格振动总的热振动能为
其中叫做模式密度,
热容量
作变量代换
得
其中
在低温极限下,中的被积函数按二项式定理展开成级数
则积分
由此有
固体物理测试卷(4)
一、简要回答下列问题:
(56=30)
1.晶体膨胀时,费米能级如何变化?
解答:
费米能级=,
其中n是单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时,体积变大,电子数目不变,n变小,费米能级降低。
2.某种晶体的倒格子为体心立方结构,该晶体的正格子是什么结构?
面心立方
3.简述近自由电子近似模型,方法和所得到的主要结论。
考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用,假定周期性势场的起伏较小。
作为零级近似,可以用势场的平均值代替离子产生的势场·
:
=v().周期性势场的起伏量v()-=作为微扰来处理。
当两个由相互自由的矩阵元状态和=的零级近似能量相等时,一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大。
即,或者,在布里渊区的边界处,能量发生突变,形成一系列的能带。
4.试用能带论简述导体,绝缘体,半导体中电子在能带中填充的特点。
金属或导体中的价电子没有把价带(最高填充带)填满,此为倒带;
绝缘体中的价电子正好把价带填满,且更高的许可带(空带)与价带间相隔较宽的禁带;
半导体和绝缘体相似,但禁带较窄。
5.简要阐述固体物理中的Born-Oppenheimer近似(或绝热近似)的内容及物理依据。
原子核(或原子实)质量比电子大上千倍,电子的运动比核快得多,因而可认为电子是在准静态的核构形的势场中运动。
从而可把电子与核的运动分开来讨论。
即固体的运动简化成相对较简单的电子运动和核的运动。
6.什么是声子?
解答:
晶格振动的能量量子。
在晶体中存在不同振动频率的模式,称为晶格振动,晶格振动能量可以用声子来描述,把声子看作具有能量(),动量的玻色子,但声子并不是真正的粒子,声子可以被激发,也可以湮灭,有相互作用时声子数不守恒。
图B4-1
二.(15‘)图B4—1表示一个由同种元素的原子所形成的二维层状晶体,其中正六边形的边长为a,请分析并找出其基元,画出其Brawais格子,初基元胞和W-S元胞,并写出基失在适当直角坐标系中的表达式。
基元
Bravais格子:
初基原胞:
Y
2a
2a
X
W-S原胞:
基失:
三,(10‘)求出bccBravais格子(110)晶面族的晶面上的格点数和面间距。
晶面
格点数面密度
面间距
四(15’)设一维晶体中的单电子势(即晶体势能场)为
na-b
0,
其中,a=4b,w为常数。
(1)画出此势能曲线,计算势能的平均值;
(2)根据近自由电子近似方法,求出晶体中第一个以及第二个禁带的宽度。
势能曲线:
V(x)
0ba2ax
由于势能具有周期性,因此只在一个周期内求平均值即可:
=
=
⑵禁带宽度的表示为:
=2
其中是周期势场傅立叶级数的系数:
第一禁带宽度为:
=2
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