创新方案高中数学 131 单调性与最大小值 第一课时教案精讲 新人教A版必修1.docx
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创新方案高中数学131单调性与最大小值第一课时教案精讲新人教A版必修1
1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时
第一课时 函数的单调性
[读教材·填要点]
1.定义域为I的函数f(x)的增减性
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格)的单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
[小问题·大思维]
1.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数,对吗?
提示:
不对,如函数f(x)=x2,(-1<x<1),
存在x1=-,x2=,显然x1<x2,
有f(x1)=<f(x2)=,
但f(x)=x2在(-1,1)上不是增函数.
2.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b)使得x1 提示: 不对,如上述函数f(x)=x2(-1<x<1). 3.画出函数y=的图象,你认为: 若f(x)在区间A上为减函数,在区间B上也为减函数,则f(x)在A∪B上也为减函数,对吗? 提示: 不对,如函数f(x)=(x≠0),在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上也为减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上既不是增函数,也不是减函数. 证明或判断函数的单调性 [例1] 求证: 函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数. [自主解答] 对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1 == ∵x1 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴函数f(x)=在(-∞,0)上是增函数. 对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1 ∵0 ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数. —————————————————— 利用定义证明函数单调性的步骤如下: 1取值: 设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1 2作差变形: 作差fx1-fx2,并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子; 3定号: 确定fx1-fx2的符号;,4结论: 根据fx1-fx2的符合及定义判断单调性. ———————————————————————————————————————— 1.证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数. 证明: 设x1,x2∈R,且x1 f(x1)-f(x2)=(x+x1)-(x+x2) =(x-x)+(x1-x2) =(x1-x2)(x+x1x2+x+1) =(x1-x2)[(x1+x2)2+x+1]. ∵x1 又∵(x1+x2)2+x+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) ∴f(x)在R上是增函数. 求函数的单调区间 [例2] 画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间. [自主解答] y=-x2+2|x|+3 = 函数图象如图所示. 函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数, 函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数. ∴函数的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调减区间是[-1,0]和[1,+∞). —————————————————— 1对于初等函数y=kx+b,y=ax2+bx+c,y=\f(k,x)单调区间的确定,常借助于函数图象去探求,而且这些函数的单调区间作为常识性的内容,可以直接使用. 2对于含有绝对值的函数,往往转化成分段函数去处理其图象,借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性区间. ———————————————————————————————————————— 2.求函数f(x)=|x+1|-|2x-4|的单调递减区间. 解: f(x)=|x+1|-|2x-4| = 画出函数f(x)的图象如下图所示,函数f(x)的单调减区间是[2,+∞). 由函数的单调性求参数取值范围 [例3] 已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的取值范围. [自主解答] 函数f(x)=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a,画出草图如图所示. 由图象可知函数在(-∞,a]和[a,+∞)上分别单调,因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调,只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增;当a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,从而a∈(-∞,1]∪[2,+∞). “若函数单调增区间为[2,+∞),则a为何值? ” 解: ∵f(x)开口向上,且函数单调增区间为[2,+∞), ∴对称轴x=a=2,即a=2. —————————————————— 1已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是: 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参. (2)常见函数的单调性列表如下: 函数 单调性 一次函数y=ax+b(a≠0) a>0时,在R上单调递增; a<0时,在R上单调递减 反比例函数y=(a≠0) a>0时,单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞);a<0时,单调增区间是(-∞,0)和(0,+∞) 二次函数y=a(x-m)2+n(a≠0) a>0时,单调减区间是(-∞,m],单调增区间是[m,+∞);a<0时,单调减区间是[m,+∞),单调增区间是(-∞,m] (3)需注意若一函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. ———————————————————————————————————————— 3.若函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则a的取值范围为________. 解析: ∵f(x)=(2a-1)x+b为一次函数, ∴当2a-1<0即a<时,f(x)是R上的减函数. 答案: (-∞,) 解题高手 妙解题 同样的结果,不一样的过程,节省解题时间,也是得分! 求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值. [巧思] 先求出函数的对称轴x=a,分四种情况a<0,0≤a<1,1≤a<2,a≥2时,讨论函数f(x)在区间[0,2]上的单调性,再结合图形,可分别求出相应的最小值和最大值. [妙解] ∵f(x)=(x-a)2-1-a2, 对称轴为直线x=a, ①当a<0时,由图1可知 f(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f (2)=3-4a. ②当0≤a<1时,由图2可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f (2)=3-4a. ③当1≤a<2时,由图3可知,f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(0)=-1; ④当a≥2时,由图4可知,f(x)min=f (2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1. 1.函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是( ) A. B.[-1,+∞) C.D.(-∞,+∞) 解析: y=x2+x+1=(x+)2+. 其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减, ∴x≤-时单调递减. 答案: C 2.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( ) A.(-∞,0],(-∞,1]B.(-∞,0],[1,+∞) C.[0,+∞),(-∞,1]D.[0,+∞),[1,+∞) 解析: f(x)=|x|的图象如图甲, g(x)=x(2-x)=-x2+2x =-(x2-2x+1)+1 =-(x-1)2+1的图象如图乙,易知选C. 答案: C 3.已知函数y=ax和y=-在(0,+∞)上都是减函数,则函数f(x)=bx+a在R上是( ) A.减函数且f(0)<0B.增函数且f(0)<0 C.减函数且f(0)>0D.增函数且f(0)>0 解析: ∵y=ax和y=-在(0,+∞)都是减函数, ∴a<0,b<0. f(x)=bx+a为减函数且f(0)=a<0. 答案: A 4.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________. 解析: 由f(x)=可得函数f(x)的单调递增区间为[-,+∞),故3=-,解得a=-6. 答案: -6 5.若函数f(x)=则f(x)的递减区间是________. 解析: ∵分段函数当x≥1时,f(x)=2x+1为增函数,当x<1时,f(x)=5-x为减函数. 答案: (-∞,1) 6.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明. 解: f(x)=在[1,+∞)上是增函数. 证明: 任取x1,x2∈[1,+∞), 且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=- == ∵1≤x1<x2,∴x2+x1>0,x2-x1>0, +>0. ∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1). 故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数. 一、选择题 1.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( ) A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 解析: 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用∪连接.比如0<5,但f(0)>f(5). 答案: C 2.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)为增函数,当x∈(-∞,-2]时,函数f(x)为减函数,则m等于( ) A.-4B.-8 C.8D.无法确定 解析: 由题意可知x=-2是f(x)的对称轴,∴=-2,m=-8. 答案: B 3.下列有关函数单调性的说法,不正确的是( ) A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数 B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数 C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数 D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数 解析: ∵若f(x)为增函数,g(x)为减函数, 则f(x)+g(x)的增减性不确定. 例如f(x)=x+2为R上的增函数, 当g(x)=-x时,则f(x)+g(x)=+2为增函数;当g(x)=-3x,则f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数. ∴不能确定f(x)+g(x)的单调性. 答案: C 4.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y=|x+1|B.y=3-x C.y=D.y=-x2+4 解析: B、C、D在(0,1)上均为减函数,只有A项在(0,1)上是增函数. 答案: A 二、填空题 5.已知函数f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x) 解析: ∵f(x)在[-1,1]上为增函数,且f(x) ∴,得-1≤x<. 答案: [-1,) 6.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的
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