5弹性力学习题课2课时10页文档资料Word格式.docx

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求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。

图5-2

应用应力函数求解：

（1）校核相容方程，满足。

（2）求应力分量，在无体力时，得：

σy=6Ax+2B，σx=τxy=0。

（3）考察主要边界条件，

x=±

bσx=0，τxy=0，均已满足。

考察次要边界条件，在y=0上：

（τyx）y=0=0，满足；

得；

得

代入，得应力的解答，

，σx=τxy=0。

上述Φ和应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。

（4）求应变分量，

（5）求位移分量，

由，对x积分，得：

由，对y积分，得：

将u，v代入几何方程第三式

两边分开变量，并令都等于常数ω，即：

从上式分别积分，求出：

代入u，v，得：

再由刚体约束条件，

，得

，得

代入u，v，得到位移分量的解答：

在顶点x=y=0，

例题3矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图5-3。

图5-3

试用下列应力函数

Φ=Ax3y3+Bxy5+Cx3y+Dxy3+Ex3+Fxy，

求解应力分量。

应用上述应力函数求解：

（1）将Φ代入相容方程：

，72A+120B=0，得。

由此，

（2）求应力分量，在无体力下，得：

（3）考察主要边界条件（y=±

h/2），y=±

h/2，τxy=0，得：

对于任意的x值，上式均应满足，由此得：

（a）

（b）

y=h/2，σy=0，

（c）

y=-h/2，，

（d）

（c）+（d）得：

（c）-（d）得：

（e）-（a）得：

（4）考察小边界上的边界条件（x=0），由：

得：

（f）

由式（b）和（f）解出：

另两个积分的边界条件：

显然是满足的。

于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：

读者试校核在x=l的小边界上，下列条件都是满足的，

5.2极坐标解法

例题4（习题4-8）试考察应力函数能解决图5-4所示弹性体的何种受力问题？

图5-4

本题应按逆解法求解。

首先校核相容方程，是满足的。

然后，代入教科书中应力公式（4-5），求出应力分量：

再求出边界上的面力：

φ=±

30°

面上，；

面上，。

面力分布如图5-4b所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。

例题5（习题4-9）半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数，求解应力分量，图5-5。

图5-5

首先检验Φ，已满足。

由Φ求应力，得：

再考察边界条件。

注意本题有两个φ面，即，分别为±

φ面。

在±

φ面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。

因此，有：

，得：

代入应力公式，得应力解答

例题6（习题4-18）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力偶矩为M，图5-6，试求应力分量。

图5-6

应用半逆解法求解。

（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。

应力应与M，ρ，φ有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。

（2）Φ应比应力的长度量纲高二次幂，可假设Φ=Φ（φ）。

（3）将Φ代入相容方程，得：

删去因子，得一个关于Φ（φ）的常微分方程。

令其解为，代入上式，可得到一个关于λ的特征方程：

其解为λ=2i，-2i，0，0。

于是得到Φ的四个解；

前两项又可以组合为正弦、余弦函数。

由此得：

Φ=Acos2φ+Bsin2φ+Cφ+D。

本题中结构对称于φ=0的x轴，而M是反对称荷载，因此，应力应反对称于x轴，为φ的奇函数，从而得A=D=0，Φ=Bsin2φ+Cφ。

（4）由Φ求得应力分量，

（5）考察边界条件。

由于原点O有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。

在ρ≠0，φ=±

π/2的边界上，有（σφ）ρ≠0，φ=±

π/2=0，（τρφ）ρ≠0，φ=±

π/2=0。

前一式自然满足，而第二式成为：

2B=C（a）

为了考虑原点O附近有集中力偶的作用，取出以O为中心，ρ为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件：

上式中前两式自然满足，而第三式成为：

（b）

再由式（a）得出：

代入应力公式，得最后的应力解答：

例题7（习题4-19）设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，图5-7，试用如下的应力函数求解：

图5-7

（1）经校核，上述Φ满足相容方程。

（2）代入应力公式（4-5），得：

（3）考察边界条件。

本题只有原点O附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为ρ的脱离体，列出其三个平衡条件：

将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出：

（a）

（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。

注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。

为此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。

由物理方程求出应变分量：

代入几何方程，得：

由前两式积分，得：

将代入第三式，并分开变数，得：

为了使上式在区域内任意的ρ、φ都成立，两边都必须等于同一常数G。

这样，得到两个常微分方程：

（b）

由式（b）解出：

将式（c）对φ求导一次，再求出：

再将上式的f（φ）代入uρ，得：

（d）

显然，式（d）中第二项是多值项。

为了保证位移的单值性，必须：

［（1-μ）B+2A］=0（e）

将式（a）代入上式，得：

将式（a），（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：

例题8圆盘的直径为d，在一直径AB的两端受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，图5-8，试求其应力。

图5-8

本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。

（1）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用教科书中式（4-22）之解：

（2）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出：

（3）对于圆周上的点M，分别作用有：

，且AM⊥BM，并有：

显然，在圆周上有：

两者合成为圆周上的法向分布压力。

为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力；

其对应的应力分量为：

，（c）

因此，圆盘在对径受压时，其应力解是（a）、（b）、（c）三部分解答之和。

现在来计算水平直径CD线上的σy值。

对于N点，设AN=ρ，∠BAN=φ，则有：

由于：

，

得到CD线上的应力分量：

最大压应力发生在圆盘的中心，

读者试求出CD线和AB线上的水平正应力σx值，并证明在中心线AB上：

，为常量的拉应力。

AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。

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