自选模块高考数学不等式选讲.doc
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数学
1.(2011年高考辽宁卷理科24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(I)证明:
-3≤f(x)≤3;
(II)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
2.(2011年高考全国新课标卷理科24)(本小题满分10分)选修4-5不等选讲
设函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)如果不等式的解集为,求的值。
分析:
解含有绝对值得不等式,一般采用零点分段法,去掉绝对值求解;已知不等式的解集要求字母的值,先用字母表示解集,再与原解集对比可得字母的值;
解:
(Ⅰ)当时,不等式,可化为,
,所以不等式的解集为
(Ⅱ)因为,所以,,可化为,
即
因为,所以,该不等式的解集是,再由题设条件得
点评:
本题考查含有绝对值不等式的解法,以及解法的应用,注意过程的完整性与正确性。
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-5:
不等式选讲(本小题满分10分)
解不等式:
解析:
考察绝对值不等式的求解,容易题。
[来源:
学#科#网]
原不等式等价于:
,解集为.[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
4.(2011年高考福建卷理科21)(本小题满分7分)选修4-5:
不等式选讲[来源:
学&科&网]
设不等式的解集为M.
(I)求集合M;
(II)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.
解析:
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分7分。
解:
(I)由
所以[来源:
学_科_网]
(II)由(I)和,
所以
故
1.(2011年高考辽宁卷理科23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数)曲线C2的参数方程为(,为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:
θ=与C1,C2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=-时,l与C1,
C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
2.(2011年高考全国新课标卷理科23)(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数)
M是曲线上的动点,点P满足,
(1)求点P的轨迹方程;
(2)在以D为极点,X轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与曲线,交于不同于原点的点A,B求
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点且与直线(为参数)平行的直线的普通方程。
[来源:
Z|xx|k.Com]
解析:
考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系,中档题。
椭圆的普通方程为右焦点为(4,0),直线(为参数)的普通方程为,斜率为:
;所求直线方程为:
.
4.(2011年高考福建卷理科21)(本小题满分7分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为
.[来源:
学科网ZXXK]
(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
解析:
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想。
满分7分。
解:
(I)把极坐标系下的点化为直角坐标,得P(0,4)。
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线的方程,
所以点P在直线上,
(II)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为,
从而点Q到直线的距离为
,
由此得,当时,d取得最小值,且最小值为
已知曲线C:
(t为参数),C:
(为参数)。
(1)化C,C的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C上的点P对应的参数为,Q为C上的动点,求中点到直线
(t为参数)距离的最小值。
(23)解:
(Ⅰ)
为圆心是(,半径是1的圆.
为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(Ⅱ)当时,
为直线
从而当时,
24、已知实数满足,且有
求证:
25、已知,求证:
26、已知,且
求证:
27、
(1).、为非负数,+=1,,求证:
;
(2).已知实数满足,试求的最值
28、已知正数满足.
(1)求证:
;
(2)求的最小值.
29、设a,b,g都是锐角,且sina+sinb+sing=1,证明
(1)sin2a+sin2b+sin2g³;
(2)tan2a+tan2b+tan2g³.
24、证明:
是方程的两个不等实根,
则,得
而
即,得
所以,即
25、证明:
26、证明:
显然
是方程的两个实根,
由得,同理可得,
27、
(∵+=1)
(2)解:
由柯西不等式得,有
;即
由条件可得,;解得,当且仅当时等号成立,代入时,
时
28、
(1)解:
根据柯西不等式,得
因为,所以.
(2)解:
根据均值不等式,得,
当且仅当时,等号成立.
根据柯西不等式,得,
即,当且仅当时,等号成立.
综上,.
29、证明:
(1)由柯西不等式得:
(sin2a+sin2b+sin2g)(1+1+1)³(1·sina+1·sinb+1·sing)2,
因为sina+sinb+sing=1,所以3(sin2a+sin2b+sin2g)³1,得:
sin2a+sin2b+sin2g³.
(2)由恒等式tan2x=和若a,b,c>0,则³,
得tan2a+tan2b+tan2g=++–3³–3.
于是=³=,
由此得tan2a+tan2b+tan2g³–3=.
1.已知正数满足.
(1)求证:
;
(2)求的最小值.
(1)解:
根据柯西不等式,得
,
因为,
所以.…………(5分)
(2)解:
根据均值不等式,得
当且仅当时,等号成立.
根据柯西不等式,得
即,
当且仅当时,等号成立.
综上,.
当且仅当,,时,等号成立,
所以的最小值为18.…………(10分
2.在极坐标系中,极点为O.曲线C:
过点A(3,0)作两条互相垂直的直线与C分别交于点P,Q和M,N.
(1)当时,求直线PQ的极坐标方程;
(2)求的最大值.
(1)解:
因为,
故|MN|=|PQ|.
所以直线PQ的倾斜角为45°或135°,
即直线PQ的极坐标方程是
或.…………(5分)
(2)解:
因为8≤|MN|≤10,8≤|PQ|≤10,
故.
又函数在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以,
当PQ为极轴所在的直线,MN为过点A且垂直于极轴的直线时,等号成立.
因此的最大值为.…………(10分)
3.设a,b,c为正实数,求证:
.
【解析】:
因为为正实数,由平均不等式可得
即
所以,
而
所以
4.已知均为正数,证明:
,并确定为何值时,等号成立。
证明:
(证法一)
因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得
①
所以②
故.
又③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立。
当且仅当时,③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立。
(证法二)
因为a,b,c均为正数,由基本不等式得
所以①
同理②
故
③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,时,③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立。
5.已知曲线C:
(t为参数),C:
(为参数)。
(1)化C,C的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C上的点P对应的参数为,Q为C上的动点,求中点到直线
(t为参数)距离的最小值。
(Ⅰ)
为圆心是(,半径是1的圆.
为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(Ⅱ)当时,
为直线
从而当时,
6.已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f
(1)=-lga,是否存在实数α、β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立,证明你的结论.
解析:
∵f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f
(2)=f
(1)+lga=-lga+lga=0.
又f
(1)=-lga,∴
∴f(n)=(n2-n-1)lga.
证明:
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k时成立,即f(k)=(k2-k-1)lga,则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(k2-k-1+k)lga=[(k+1)2-(k+1)-1]lga.
∴当n=k+1时,不等式成立.
综合
(1)、
(2),可知存在实数α、β且α=,β=-,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立.
7.在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3,
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点P的轨迹方程.
解:
(1)设M(ρ,θ)为圆C上任一点,OM的中点为N,
∵O在圆C上,∴△OCM为等腰三角形,
由垂径定理可得|ON|=|OC|cos,
∴|OM|=2×3cos,
即ρ=6cos为所求圆C的极坐标方程.
(2)设点P的极坐标为(ρ,θ),因为P在OQ的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,所
以点Q的坐标为,由于点Q在圆上,所以ρ=6cos.故点P的轨迹方程为ρ=10cos.
8.设函数,成立时的x的取值范围.
--------2分
①当时,
---------3
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- 自选 模块 高考 数学 不等式