关于线性空间的若干问题Word格式.docx
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职称副教授
成
绩
2010
年
5月
22日
目
录
摘 要
3
关键词
Abstract
KeyWords
1.线性空间的定义、基本性质及其判定
1.1线性空间的定义与例子
1.2
线性空间的简单性质
6
1.3
线性空间的判定
2维数基与坐标
7
3基变换与坐标变换
9
3.1概念及定义
3.2过渡矩阵的性质
10
3.3求基的过渡矩阵
4线性空间的同构
11
参考文献
12
关于线性空间的几个问题
姓名:
田腾飞
学号:
数学与信息科学学院
数学与应用数学专业
指导老师:
韩英波
职称:
教授
摘 要:
本文主要介绍了线性空间的定义、性质,举了几个线性空间的例子,总结了求线性空间的维数和基的方法以及求基的过渡矩阵的方法.
关键词:
线性空间;
维数;
过渡矩阵.
Someproblemsoflinearspaces
Abstract:
Inthisthesiswemainlydescribethedefinitionandpropertiesoflihearspace.Wegivesomeexamplesoflinearspace.Besideswesummarisethemethodsoffindingoutthedimensionandbaseoflinearspaceandthetransitionmatrixofthebases.
KeyWords:
linearspace;
dimension;
transitionmatrix..
前言
线性空间研究线性空间的结构,它是研究客观世界中线性问题的重要理论,即使对于非线性问题,在经过局部化后,就可以运用线性空间的理论,或者用线性空间的理论研究线性问题的某一侧面.线性映射就是线性空间之间的映射,并且这种映射保持加法和纯量乘法两种运算.线性变换就是线性空间V到自身的线性映射,也就是最简单的一种映射.
1.线性空间的定义、基本性质及其判定
1.1线性空间的定义与例子
线性空间是线性代数的基本概念之一,也是我们碰到的第一个抽象的概念.为说明线性空间的来源,在引入其定义之前,先看以下几个例子.
例1在解析几何中,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加,也可以与实数作数量乘法.因此把
中所有向量的集合记为V,则V中元素之间就有加法,对V中的元可以有数乘这两种运算.
例2为了解线性方程组,我们讨论过以n元有序数组
作为元素的n维向量空间,对于它们,也有加法与数乘,即
(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)
k(a1,a2,…,an)=(ka1,ka2,…,kan)
例3 对于函数,也可以定义加法和函数与实数的数量乘法.如,考虑全体定义在区间[a,b]上的连续函数,已知,连续函数的和是连续函数,连续函数与实数的数量乘积还是连续函数.
从以上三个例子可以看出,我们所考虑的对象虽然不同,但是它们有一个共同点,那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算.当然,随着对象的不同,其运算也是不同的.但是,当抽去这些集合中对象(元素)的具体形式及定义运算的具体规则(例如函数的加法规则与向量加法的规则是完全不同的.)之后,从代数运算所遵从的规律上看,如果与普通向量上的运算规律并无本质的不同,那么,也可把这些集合中的对象(元素)称为“向量”.当我们把这些对象当作向量之后,所研究的理论或实际问题通常变得非常简便.例如,在第三章讨论线性方程组时已经见到的,当把全体未知量作为一个n维向量来处理,使问题的讨论大为简化.因此,为了抓住它们的共同点,把它们统一起来加以研究,引入线性空间的概念.
在例1中,我们用实数和向量相乘,例2中用什么数和向量相乘要看具体情况.若在有理数域中解线性方程组时,用有理数去作数量乘法就已经足够了,而在复数域中解线性方程组时,就需要用复数去作运算.可见,不同的对象与不同的数域相联系,当引入抽象的线性空间的概念时,也必须选定一个确定的数域作为基础.
定义1 设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;
这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素
与
,在V中都有唯一的一个元素
与它们对应,称为
的和,记为
.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;
这就是说,对于数域P中任一数k与V中任一元素
与它们对应,称为k与
的数量乘积,记为
=k
.如果加法与数量乘法满足下述规则(下面八条),那么V称为数域P上的线性空间.
加法满足下面四条规则:
1)
;
2)
3)在V中有一个元素
,对于V中任一元素
,都有
(具有这种性质的
元素称为V的零元素)
4)在V中有一个元素
(
称为
的负元素)
数量乘法满足下面两条规则:
5)
6)
数量乘法与加法满足下面两条规则:
7)
8)
.
在以上规则中,k,l等表示数域P中的任意数;
,
等表示集合V中任意元素.
由定义可知,几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间,可记为
分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间,这个线性空间用
表示.
线性空间的元素也称为向量,线性空间有时也称为向量空间.
今后我们常用黑体的小写希腊字母
,…代表线性空间V中的元素,用小写的拉丁字母a,b,c,…代表数域P中的数.
线性空间的简单性质
由定义我们可直接证明线性空间的一些简单性质.
1.
零元素是唯一的.
2.
负元素是唯一的.
3.
4.
如果
,那么
或者.
线性空间的判定
例4 判断下述集合对于所指定运算是否形成实数域R上的线性空间.
(1)R[x]中所有2次多项式组成的集合V,对于多项式的加法与数量乘法;
(2)所有正实数组成的集合
,加法与数量乘法分别定义为
解
(1)不是.因为,若令
,但
即该集合对于加法不封闭,从而得证;
(2)是,(下面由线性空间的定义证明)
首先,我们根据已知条件,易得该集合关于向量乘法及数量乘法是封闭的,然后,我们证明其满足线性空间的8个条件:
对
,我们有关于加法
i)
即满足交换率;
ii)
即满足结合率;
iii)
使得
即存在零元1;
iv)
即对于每一
中的元素都存在负元.
关于乘法
v)
,即1也是单位元;
vi)
vii)
viii)
即满足线性空间的定义,从而得证,所有正实数组成的集合
,关于定义的加法与数量乘法构成实数域R上的线性空间.
关于线性组合、线性表出、线性相关、线性无关以及向量组等价的概念已相当熟悉不再列出,下面列出常用的几个结论:
(1)单个向量
是线性相关的充要条件是
两个以上的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.
(2)如果向量组
线性无关,且可以被
线性表出,那么
由此推出两个等价的线性无关的向量组,定含有相同个数的向量.
(3)如果向量组
线性无关,但向量组
线性相关,那么
可以被
线性表出,且表法是唯一的.
在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量,显然是线性空间的一个重要属性.
定义2在
维线性空间
中,
个线性无关的向量
的一组基.设
是
中任一向量,于是
线性相关,因此
可以被基
线性表出:
其中系数
是被向量
和基
唯一确定的,这组数就称为
在基
下的坐标,记为
由以上定义看来,在给出空间
的一组基之前,必须先确定
的维数.
定理1如果在线性空间
中有
,且
中任一向量都可以用它们线性表出,那么
维的,而
就是
的一组基.
例5设
(1)求
的一组基和维数;
(2)求
中元素
在第
(2)小题中所求坐标基下的坐标.
解
(1)取
,则
是数域R上的线性无关向量组,又因为,对于V中的任意元素
所以,
构成V的一组基,且其维数就是3;
(2)由
(1)得
元素
在的坐标为
3基变换与坐标变换
3.1概念及定义
设
是n维线性空间V中两组基,它们的关系是
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- 关于 线性 空间 若干问题
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