2001年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学试题答案Word格式.doc
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本大题共6小题,满分74分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.解:
y=
=
=5分
=8分
所以最小正周期T=π.10分
18.解:
(Ⅰ)设该等差数列为,
则.
由已知有a+3a=2×
4,解得首项,
公差.2分
代入公式得
∴k2+k-2550=0
解得k=50,k=-51(舍去)
∴a=2,k=50.6分
(Ⅱ)由得,
9分
12分
19.解:
(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是
M底面=
=2分
∴四棱锥S—ABCD的体积是
4分
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱6分
∵AD∥BC,BC=2AD
∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.
又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影,
∴CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角10分
∵SB=
∴tg∠BSC=
即所求二面角的正切值为12分
20.解:
设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=48401分
设纸张面积为S,则有
S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,3分
将x=代入上式得
S=5000+445分
当8时,S取得最小值,
此时,高:
x=cm,
宽:
λx=cm8分
如果λ∈[],可设,则由S的表达式得
S(λ1)-S(λ2)=44
=10分
由于
因此S(λ1)-S(λ2)<0,
所以S(λ)在区间[]内单调递增.
从而,对于λ∈[],当λ=时,S(λ)取得最小值
答:
画面高为88cm、宽为55cm时,所用纸张面积最小;
如果要求λ∈[],当λ=时,所用纸张面积最小.12分
21.证明:
依设,得椭圆的半焦距c=1,右焦点为F(1,0),右准线方程为x=2,点E的坐标为(2,0),EF的中点为N(,0)3分
若AB垂直于x轴,则A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1),
∴AC中点为N(,0),即AC过EF中点N.
若AB不垂直于x轴,由直线AB过点F,且由BC∥x轴知点B不在x轴上,故直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0.
记A(x1,y1)和B(x2,y2),则C(2,y2)且x1,x2满足二次方程
即(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
∴x1+x2=10分
又x21=2-2y21<2,得x1-≠0,
故直线AN,CN的斜率分别为
k1=
∴k1-k2=2k·
∵(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)
=3(x1+x2)-2x1x2-4
∴k1-k2=0,即k1=k2,故A、C、N三点共线.
所以,直线AC经过线段EF的中点N.14分
22.(Ⅰ)解:
因为对x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·
f(x2),
所以
,3分
∴6分
(Ⅱ)证明:
依题设关于直线x=1对称,
故,
即
又由是偶函数知,,
∴,,
将上式中以代换,得,
这表明是R上的周期函数,且2是它的一个周期.10分
(Ⅲ)解:
由(Ⅰ)知,x∈[0,1]
∵
∴12分
∵的一个周期是2
∴,因此an=
∴14分
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