二维热传导方程数值解及matlab实现.docx
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目 录
第一章绪论 I
1.1 课题背景和意义 I
1.2 课题研究现状 I
1.3 课题要求 II
1.4课题解决 II
1.5 论文结构安排 III
第二章有限元法及偏微分方程解法理论分析 IV
2.1 有限元基本知识介绍 IV
2.2 求解二维热传导方程的基本思想 V
2.2.1 将定解区域离散 V
2.2.2 插值函数的选择 VI
2.2.3 方程组的建立 VI
2.2.4 方程组的求解 VI
2.3 二维热传导方程 VI
2.3.1 网格剖分 VI
2.3.2 离散方程组的构建 VII
2.3.3 稳定性分析 IX
第三章FEM求解二维热传导方程在MATLAB中的实现 XI
3.1 MATLAB相关知识简介 XI
3.1.1 追赶法简介 XI
3.1.2 相关函数命令简介 XII
3.2 FEM求解二维热传导方程在MATLAB中的实现方法 XIII
第四章数值化和可视化举例分析 XV
4.1 二维热传导方程数值求解的MATLAB实现 XV
4.1.1研究一种较为简单的情况:
XV
4.1.2研究一种较为复杂的情况 XVI
4.2 误差分析 XVIII
结论与展望 XXI
致谢 XXIII
参考文献 XXIV
附录A:
程序清单 XXV
附录B:
外文翻译资料 XXV
第一章 绪论
1.1 课题背景和意义
热传导是一种普遍存在的物理现象,它广泛存在于目前的工程应用领域中,对人们的生产和生活实践有着广泛而深刻的影响。
虽然人们对于热传导现象的本质特征已有了一个比较完整的认识,并已通过严密的数学逻辑公式推导对其物理特征进行了精确的描述,但所得到的结果往往是复杂的积分或级数表达式,其中还免不了使用某些特殊函数,由于现在数学上存在的困难,在工程中许多热传导问题还不能采用分析解法进行求解。
因此,通过一种较为简便直观的方式掌握控制和改进热量传递的方法和技术措施,无论对国民经济建设还是改善人民生活都具有重要的意义。
近年来,随着计算机技术迅速发展,数值方法已经得到广泛应用并成为有力的辅助求解工具,人们在此基础上已发展了诸如有限差分法、有限元法和边界元法等用于工程问题的求解方法。
我们知道,热传导问题的数学表达式一般为偏微分方程形式,但偏微分方程一般并没有固定有效的精确解法,因而人们广泛采用数值方法来实现热传导方程的研究、模拟和仿真。
对于热传导问题的数值计算及其可视化,原则上,可以用FORTRAN或C语言来完成这个任务,可是实际上并没有人去这样做,原因是成本太高,需要消耗更多的人力和物力,达到的效果却并不能满足人们的需求。
幸运的是,高性能数学软件(如MATLAB)与目前具有强大计算功能的个人计算机让这个问题变得简单起来。
本课题旨在尝试利用目前在理论上已经成熟的有限差分法原理结合MATLAB强大的数据处理和模拟仿真功能编写特定的程序代码对给定初边值条件的二维热传导方程温度随时间、空间的变化规律进行研究并将其可视化。
本课题将以二维热传导方程的数值解法及MATLAB实现为主线,研究论证其可行性,从而发现一种较为简便且极为有效的热传导方程数值解法和可视化的方法,意在更好的解决目前在工程和研究领域中实际存在的热传导问题,进而推动其相关领域的发展和进步。
1.2 课题研究现状
近三十年来,解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展,而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛,在我国,偏微分方程数值解法作为一门课程,不但在计算数学专业,而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。
同时,求解
热传导方程的数值算法也取得巨大进展,特别是有限差分法方面,此算法的特点是
在内边界处设计不同于整体的格式,将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。
而且精度上更好。
目前,在欧美各国MATLAB的使用十分普及。
在大学的数学、工程和科学系科,MATLAB被用作许多课程的辅助教学手段,MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具,甚至是一项必须掌握的基本技能。
在我国,MATLAB在各大专院校的应用日益普遍,许多专业已把MATLAB作为基本计算工具。
在科研机构和工业界,MATLAB正得到越来越广泛的应用。
MATLAB具有强大的图形绘制功能,为科学计算和图形处理提供了很大的方便。
我们只需制定的绘图方式,再提供绘图数据,有程序指令就可以得到形象、直观的图形结果。
因此,近些年越来越多的人开始使用MATLAB来求解数值计算和图形处理技术,我们也可以绘制出热传导方程数值解的二维、三维图形,从而可以更好的理解热传导方程的意义。
1.3 课题要求
用有限元方法对如下二维热传导方程初边值问题进行数值求解,编程并进行MATLAB数值实现:
u
u f(x,y,t), (x,y,t) (0,T]
t
u(x,y,0) (x,y), (x,y)
u(x,y,t) 0, (x,y,t) (0,T]
2u 2u
其中 u
x2 y2
,f(x,y,t)为热源函数;为空间定义域;为 的边界。
要求求出给定时间情况下温度随空间的分布变化规律。
1.4课题解决
目前,对于求解偏微分方程有很多方法,但差分法和有限元离散法式主要解决问题的两种方法。
一般来说,用差分法来解偏微分方程,解得的结果就是方程的准确解函数在这点上的近似值。
而用变分近似的方法求解,是将近似解表示成有限维子空间中基函数的线性组合。
有限元法也是基于变分原理,由于选择了特殊的基函数,使它能适用于一般的区域。
这种基函数是与区域的剖分有关的,近似解u表示为基函数的线性组合,二线性组合中的系数,又是剖分节点上u或其导数的近似值。
有关一维热传导方程的有限差分法求解的MATLAB实现[4],现在已经解决,本文借鉴一维热传导有限差分法的MATLAB求解思想,对二维热传导方程进行转换,再
对解法编程实现,从而进一步对热传导方程进行探讨。
二维热传导方程求解在现实
生活中的应用也更加广泛,所以有很好的现实意义。
1.5 论文结构安排
第一章,绪论。
主要介绍课题的研究背景和意义,分析了热传导现象在目前工程领域的主要解决方案和发展现状,最后说明论文的主要内容和组织结构。
第二章,有限元法理论研究。
主要介绍与二维热传导问题相关的FEM理论,为有限元法在MATLAB中的实现奠定基础。
第三章,FEM在MATLAB中的实现。
主要介绍如何针对特定的一类二维热传导方程结合初边值条件编制相应的程序代码。
第四章,二维热传导方程的数值化和可视化。
主要介绍如何利用编制好的程序代码带入相应的初边值条件,进行数值化和可视化研究。
第二章 有限元法及偏微分方程解法理论分析
本部分主要对二维热传导方程的有限元解法进行了完整的理论分析。
首先从有限元的基本知识开始引出求解二维热传导方程的基本思想,然后根据本思想使用交叉方向隐格式求解方法构建矩阵,并论证其稳定性。
2.1 有限元基本知识介绍
定义2.1[8]含有未知函数u(x,x, ,x,t)的偏导数的方程称为偏微分方程。
定义2.2[8]方程
1 2 n
u u u
1
n
(k ) (k ) f(x,t),
t x x x x
1 1 n n
i
称热传导方程。
其中,u u(x,t)是固体的传热过程中在x处、t时刻的温度。
系数k
1 2
n
称为热传导系数,当k k k
ut
( 0)时,方程为
uf(x,t),
2 2 2
其中
,n为维数。
x2 x2 x2
1 2 n
定义2.3[8]在特定条件下求解方程的解。
这样的条件成为定解条件。
给出了方程和定结条件,就构成了定解问题。
定义2.4[8] 一般说,边界条件有下列形式
u
(x,y)u(x,y) (x,y) (x,y) (x,y),
n
u
其中 为边界的外法向导数。
有如下几种特殊形式
n
(1)richlet(或第一类)条件:
0,即u值给定;即只有初始条件而没有边界条件的定解问题
(2)Neumann(或第二类)条件:
0.即u的外法向导数给定;即只有边界条件而没有初值条件的定解问题
(3)Robbins(或第三类)条件:
0, 0;
即既有边值条件又有初值条件的定解问题
定义2.5[8]定义在 , 上的函数vx
的一个关系式,设
2
v(x) dx
有关系式
2
v(x) 1
v()ei(
x)dd,
以上变换称为Fourier变换。
1
其中i 是虚数单位。
定义2.6[8]由第n个时间层推进到第n
1个时间层时差分方程提供了逐点直接计算
j
un1的表达式,我们称次差分方程为显式格式。
定义2.7[8] 有限差分格式在新的时间层上包含有多于一个的节点,这种有限差分格式称为隐式格式。
定义2.8[11]
称为向前差分。
定义2.9[11]
tu(x,t)
xu(x,t)
u(x,t t)
u(x x,t)
u(x,t),
u(x,t).
称为向后差分。
定义2.10[11]
tu(x,t)
iu(x,t)
u(x,t)
u(x,t)
u(x,t t),
u(x x,t).
tu(x,t)
u(x,t
1 t)
u(x,t
1 t),
2 2
xu(x,t)
u(x
1 x,t)
u(x
1 x,t).
2 2
称为中心差分。
定义2.11[11]用微分方程的解代替差分方程的全部近似解,这样得到的方程两边的差就是截断误差。
定义2.12[8]给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式,则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充要条件。
2.2 求解二维热传导方程的基本思想
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成网格来代替,这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数的近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分来近似,于是原微分方程和定解条件近似的代之以代数方程,即优先差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
下面是有限差分法数值计算的基本步骤[14]:
2.2.1 将定解区域离散
用有限差分方法求解偏微分方程问题必须把连续问题进行离散化。
为此首先要
对求解区域给出网格划分,由于求解的问题不同,因此求解区域也不尽相同。
下面用例子来说明不同区域的剖分离散。
并引入一些常用术语。
考虑双曲型和抛物型方程的初值问题,求解区域是
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