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只有两个端钮与其它电路相连接的网络,称为二端网络。
当强调二端网络的端口特性,而不关心网络内部的情况时,称二端网络为单口网络,简称为单口(One-port)。
电阻单口网络的特性由端口电压电流关系(简称为VCR)来表征(它是u-i平面上的一条曲线)。
等效单口网络:
当两个单口网络的VCR关系完全相同时,称这两个单口是互相等效的。
单口的等效电路:
根据单口VCR方程得到的电路,称为单口的等效电路。
单口网络与其等效电路的端口特性完全相同。
一般来说,等效单口内部的结构和参数并不相同,谈不上什么等效问题。
利用单口的等效来简化电路分析:
将电路中的某些单口用其等效电路代替时,不会影响电路其余部分的支路电压和电流,但由于电路规模的减小,则可以简化电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1.线性电阻的串联
两个二端电阻首尾相联,各电阻流过同一电流的连接方式,称为电阻的串联。
图(a)表示n个线性电阻串联形成的单口网络。
用2b方程求得端口的VCR方程为
其中
上式表明n个线性电阻串联的单口网络,就端口特性而言,等效于一个线性二端电阻,其电阻值由上式确定。
2.线性电阻的并联
两个二端电阻首尾分别相联,各电阻处于同一电压下的连接方式,称为电阻的并联。
图(a)表示n个线性电阻的并联。
求得端口的VCR方程为
上式表明n个线性电阻并联的单口网络,就端口特性而言,等效于一个线性二端电阻,其电导值由上式确定。
两个线性电阻并联单口的等效电阻值,也可用以下公式计算
3.线性电阻的串并联
由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网络,就端口特性而言,等效于一个线性二端电阻,其等效电阻值可以根据具体电路,多次利用电阻串联和并联单口的等效电阻公式(2-l)和(2-2)计算出来。
例2-l电路如图2-3Ωa)所示。
已知R1=6,R2=15,R3=R4=5。
试求ab两端和cd两端的等效电阻。
图2-3
为求Rab,在ab两端外加电压源,根据各电阻中的电流电压是否相同来判断电阻的串联或并联。
显然,cd两点间的等效电阻为
二、独立电源的串联和并联
根据独立电源的VCR方程和KCL、KVL方程可得到以下公式:
个独立电压源的串联单口网络,如图2-4(a)所示,就端口特性而言,等效于一个独立电压源,其电压等于各电压源电压的代数和
图2-4
其中与uS参考方向相同的电压源uSk取正号,相反则取负号。
2.n个独立电流源的并联单口网络,如图2-5(a)所示,就端口特性而言,等效于一独立电流源,其电流等于各电流源电流的代数和
与iS参考方向相同的电流源iSk取正号,相反则取负号。
图2-5
就电路模型而言,两个电压完全相同的电压源才能并联;
两个电流完全相同的电流源才能串联,否则将违反KCL、KVL和独立电源的定义。
发生这种情况的原因往往是模型设置不当,而需要修改电路模型。
例2-2图2-6(a)电路中。
已知uS1=10V,uS2=20V,uS3=5V,R1=2,R2=4,R3=6和RL=3。
求电阻RL的电流和电压。
图2-6
解:
为求电阻RL的电压和电流,可将三个串联的电压源等效为一个电压源,其电压为
将三个串联的电阻等效为一个电阻,其电阻为
由图(b)电路可求得电阻RL的电流和电压分别为:
例2-3电路如图2-7(a)所示。
已知iS1=10A,iS2=5A,iS3=1A,G1=1S,G2=2S和G3=3S,求电流i1和i3。
图2-7
解:
为求电流i1和i3,可将三个并联的电流源等效为一个电流源,其电流为
得到图(b)所示电路,用分流公式求得:
三、含独立电源的电阻单口网络
一般来说,由一些独立电源和一些线性电阻元件组成的线性电阻单口网络,就端口特性而言,可以等效为一个线性电阻和电压源的串联,或者等效为一个线性电阻和电流源的并联。
可以通过计算端口VCR方程,得到相应的等效电路
例2-4图2-8(a)单口网络中。
已知uS=6V,iS=2A,R1=2W,R2=3W。
求单口网络的VCR方程,并画出单口的等效电路。
图2-8
在端口外加电流源i,写出端口电压的表达式
其中:
根据上式所得到的单口等效电路是电阻Ro和电压源uOC的串联,如图(b)所示。
例2-5图2-9(a)单口网络中,已知uS=5V,iS=4A,G1=2S,G2=3S。
图2-9
在端口外加电压源u,用2b方程写出端口电流的表达式为
根据上式所得到的单口等效电路是电导Go和电流源iSC的并联,如图(b)所示。
例2-6求图2-10(a)和(c)所示单口的VCR方程,并画出单口的等效电路。
图2-10
图(a)所示单口的VCR方程为
根据电压源的定义,该单口网络的等效电路是一个电压为uS的电压源,如图(b)所示。
图(c)所示单口VCR方程为
根据电流源的定义,该单口网络的等效电路是一个电流为iS的电流源,如图(d)所示。
四、含源线性电阻单口两种等效电路的等效变换
含源线性电阻单口可能存在两种形式的VCR方程,即
相应的两种等效电路,如图(a)和(c)所示。
式(2-7)改写为
令式(2-6)和(2-8)对应系数相等,可求得等效条件为
单口网络两种等效电路的等效变换可用下图表示。
例2-7用电源等效变换求图2-12(a)单口网络的等效电路。
图2-12
五、用单口等效电路简化电路分析
假如图2-13(a)所示电路N能分解为图2-13(b)所示的两个单口网络的连接,就可以用单口的等效电路来代替单口Nl(或N2),使电路的支路数和结点数减少,从而简化电路分析。
图2-13
由于单口与其等效电路的VCR方程完全相同,这种代替不会改变电路其余部分N2(或Nl)的电压和电流。
当仅需求解电路某一部分的电压和电流时,常用这种方法来简化电路分析。
现举例加以说明。
例2-8求图2-14(a)电路中电流i。
图2-14
可用电阻串并联公式化简电路。
具体计算步骤如下:
先求出3和1电阻串联再与4电阻并联的等效电阻Rbd
得到图(b)电路。
再求出6和2电阻串联再与8并联的等效电阻Rad
得到图(c)电路。
由此求得电流
例2-9求图2-15(a)电路中电流i。
图2-15
用电源等效变换公式,将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电导并联,得到图(b)电路。
用分流公式求得
例2-10求图2-16(a)电路中电压u。
图2-16
(1)将1A电流源与5电阻的串联等效为1A电流源。
20V电压源与10电阻并联等效为20V电压源,得到图(b)电路。
(2)再将电流源与电阻并联等效为一个电压源与电阻串联,得到图(c)所示单回路电路。
由此求得
2-2电阻的星形联接与三角形联接
电阻的星形联接:
将三个电阻的一端连在一起,另一端分别与外电路的三个结点相连,就构成星形联接,又称为Y形联接,如图2-17(a)所示。
电阻的三角形联接:
将三个电阻首尾相连,形成一个三角形,三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连,就构成三角形联接,又称为Δ形联接,如图(b)所示。
图2-17
电阻的星形联接和电阻的三角形联接构成一个电阻三端网络。
一般来说,电阻三端网络的端口特性,可用联系这些电压和电流关系的两个代数方程来表征。
对于电阻星形联接的三端网络,外加两个电流源i1和i2。
用2b方程求出端口电压u1和u2的表达式为:
整理得到
对电阻三角形联接的三端网络,外加两个电流源i1和i2,将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个电压源与电阻的串联单口,得到图(b)电路,由此得到
将i12表达式代入上两式,得到
式(2-11)和(2-12)分别表示电阻星形联接和三角形联接网络的VCR方程。
如果要求电阻星形联接和三角形联接等效,则要求以上两个VCR方程的对应系数分别相等,即:
由此解得
电阻三角形联接等效变换为电阻星形联接的公式为
当R12=R23=R31=RD时,有
由式(2-14)可解得:
电阻星形联接等效变换为电阻三角形联接的公式为
当R1=R2=R3=RY时,有
在复杂的电阻网络中,利用电阻星形联接与电阻三角形联接网络的等效变换,可以简化电路分析。
例2-11求图2-20(a)电路中电流i。
图2-20
再用电阻串联和并联公式,求出连接到电压源两端单口的等效电阻
最后求得
2-3网孔分析法及回路分析法
在支路电流法一节中已述及,由独立电压源和线性电阻构成的电路,可以b个支路电流变量来建立电路方程。
在b个支路电流中,只有一部分电流是独立电流变量,另一部分电流则可由这些独立电流来确定。
若用独立电流变量来建立电路方程,则可进一步减少电路方程数。
对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说,它的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。
用网孔电流作变量建立的电路方程,称为网孔方程。
求解网孔方程得到网孔电流后,用KCL方程可求出全部支路电流,再用VCR方程可求出全部支路电压。
一、网孔电流
若将电压源和电阻串联作为一条支路时,该电路共有6条支路和4个结点。
对①、②、③结点写出KCL方程。
支路电流i4、i5和i6可以用另外三个支路电流i1、i2和i3的线性组合来表示。
电流i4、i5和i6是非独立电流,它们由独立电流i1、i2和i3的线性组合确定。
这种线性组合的关系,可以设想为电流i1、i2和i3沿每个网孔边界闭合流动而形成,如图中箭头所示。
这种在网孔内闭合流动的电流,称为网孔电流。
它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。
对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说,共有(b-n+1)个网孔电流。
二、网孔方程
以图示网孔电流方向为绕行方向,写出三个网孔的KVL方程分别为:
将以下各式代入上式,消去i4、i5和i6后可以得到:
将网孔方程写成一般形式:
其中R11,R22和R33称为网孔自电阻,它们分别是各网孔内全部电阻的总和。
例如R11=R1+R4+R5,R22=R2+R5+R6,R33=R3+R4+R6。
Rkj(k1j)称为网孔k与网孔j的互电阻,它们是两网孔公共电阻的正值或负值。
当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号,例如R12=R21=R5,R13=R31=R4。
当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号,例如R23=R32=-R6。
uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。
绕行方向由极到+极的电压源取正号;
反之则取负号。
例如uS11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。
由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。
可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和
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