高考数学一轮复习第7章立体几何72空间几何体的表面积与体积课后作业理.docx
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高考数学一轮复习第7章立体几何72空间几何体的表面积与体积课后作业理
2019-2020年高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课后作业理
一、选择题
1.(xx·东北五校联考)如左图所示,在三棱锥D-ABC中,已知AC=BC=CD=2,CD⊥平面ABC,∠ACB=90°.若其正视图、俯视图如右图所示,则其侧视图的面积为( )
A.B.2
C.D.
答案 D
解析 由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形,其中一直角边为CD,其长度为2,另一直角边为底面三角形ABC的边AB上的中线,其长度为,则其侧视图的面积为S=×2×=,故选D.
2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8πB.8+8π
C.16+16πD.8+16π
答案 A
解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图所示),其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积V=4×2×2+π×22×4=16+8π.故选A.
3.(xx·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( )
A.72+6πB.72+4π
C.48+6πD.48+4π
答案 A
解析 由三视图知,该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示),其表面积为16×2+(16-4+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π.故选A.
4.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为16π,则该三棱锥的高的最大值为( )
A.4B.6
C.8D.10
答案 C
解析 依题意,设题中球的球心为O、半径为R,△ABC的外接圆半径为r,则=,解得R=5,由πr2=16π,解得r=4,又球心O到平面ABC的距离为=3,因此三棱锥P-ABC的高的最大值为5+3=8.选C.
5.(xx·广东广州一模)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.8πB.12π
C.20πD.24π
答案 C
解析 如图,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC的中点为球心O,易得2R=PC=,所以R=,球O的表面积为4πR2=20π.选C.
6.(xx·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.+B.+
C.+D.1+
答案 C
解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R=,则R=,所以半球的体积为πR3=,又正四棱锥的体积为×12×1=,所以该几何体的体积为+.故选C.
7.(xx·河南郑州质检)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( )
A.32B.32
C.64D.64
答案 C
解析 由三视图知三棱锥如图所示,底面ABC是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,BC=2,PA2+y2=102,
(2)2+PA2=x2,因此xy=x=
x≤=64,当且仅当x2=128-x2,即x=8时取等号,因此xy的最大值是64.选C.
8.(xx·福建质检)空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径等于( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 如图,连接BF,AF,DE,CE,因为AE=BE,EF⊥AB,所以AF=BF.同理可得EC=ED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,所以球心O必在EF上,连接OA,OC.设该球的半径为R,OE=x,则R2=AE2+OE2=16+x2①,R2=CF2+OF2=4+(4-x)2②,由①②解得R=.故选C.
9.(xx·雁塔期末)在六条棱长分别为2,3,3,4,5,5的所有四面体中,最大的体积是( )
A.B.
C.D.2
答案 A
解析 由题意可知,由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况:
左图中,由于32+42=52,即图中AD⊥平面BCD,
∴V1=××2×4=;
中间图,由于此情况的底面与上相同,但AC不与底垂直,故高小于4,于是得V2<V1;
右图中,高小于2,底面积×5×=.
∴V3<××2=<.
∴最大体积为.故选A.
10.(xx·衡水中学三调)已知正方体ABCD-A′B′C′D′的外接球的体积为,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为( )
A.+B.3+或+
C.2+D.+或2+
答案 B
解析 设正方体的棱长为a,依题意得,×=,解得a=1.由三视图可知,该几何体的直观图有以下两种可能,图1对应的几何体的表面积为+,图2对应的几何体的表面积为3+.故选B.
二、填空题
11.(xx·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.
答案
解析 设正方体的棱长为a,则6a2=18,∴a=.
设球的半径为R,则由题意知2R==3,
∴R=.故球的体积V=πR3=×3=.
12.(xx·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.
答案
解析 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2,三棱锥的高为1,则三棱锥的底面积为××2=,
∴该三棱锥的体积为××1=.
13.(xx·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
答案
解析 设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,圆柱O1O2的底面半径为R.
∴==.
14.(xx·太原模拟)已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=,点E是BC的中点,点A在平面BCD内的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为________.
答案
解析
如图,作出三棱锥A-BCD的外接球,设球的半径为r,球心O到底面BCD的距离为d,DE的中点为F,连接AF,过球心O作AF的垂线OH,垂足为H,连接OA,OD,OE,AE.因为BD=,CD=,BC=2,所以BD⊥CD,则OE⊥平面BCD,OE∥AF,所以HF=OE=d.所以在Rt△BCD中,DE=1,EF=.
又AB=AC=BC=2,所以AE=,所以在Rt△AFE中,AF=,所以r2=d2+1=2+,解得r2=,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πr2=.
三、解答题
15.(xx·梅州一模)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.
(1)求此多面体的全面积;
(2)求此多面体的体积.
解
(1)在△BAD中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°,
∴由余弦定理可得BD=,
则AB2=AD2+BD2,
∴AD⊥BD.
由已知可得,AG∥EF,AE∥GF,
∴四边形AEFG为平行四边形,
GD=AD=1,∴EF=AG=.
EB=AB=2,∴GF=AE=2.
过G作GH∥DC交CF于H,得FH=2,∴FC=3.
过G作GM∥DB交BE于M,得GM=DB=,ME=1,∴GE=2.
cos∠GAE==,∴sin∠GAE=.
S▱AEFG=2×××2×=.
该几何体的全面积S=+2××1×+×1×1+×2×2+×(1+3)×2+×(2+3)×1=++9.
(2)V多面体的体积=VA-BEGD+VG-BCD+VG-BCFE
=SBEGD·AD+S△BCD·DG+S四边形BCFE·BD
=·(DG+BE)·BD·AD+·BC·CD·sin60°·DG+·(BE+CF)·BC·BD=.
16.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:
m).
(1)试画出它的直观图;
(2)求它的表面积和体积.
解
(1)直观图如图所示:
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,
在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1,
在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,
∴BB1=,
∴几何体的表面积
S=S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形AA1D1D
=1+2×1+2××(1+2)×1+1×+1
=7+(m2).
∴几何体的体积V=×1×2×1=(m3),
∴该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.
2019-2020年高考数学一轮复习第7章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系学案文
[知识梳理]
1.空间两条直线的位置关系
(1)位置关系分类
(2)异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围:
.
(3)等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系
3.必记结论
(1)唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2)异面直线的判定定理
平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面.( )
(2)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.( )
(4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.教材衍化
(1)(必修A2P52B组T1
(2))如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 C
解析 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角.又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.故选C.
(2)(必修A2P63B组T1)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别为侧棱PC,PB的中点,则EF与平面PAD的位置关系为________,平面AEF与平面ABCD的交线是________.
答案 平行 AD
解析 E,F分别为PC,PB中点,所以EF∥BC,又BC∥AD.
所以EF∥AD,而AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD.
所以EF∥平面PAD.由上述推证易得两面交线为AD.
3.小题热身
(1)(xx·山
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