全国初中数学竞赛试题及答案Word文件下载.doc
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A.0 B.1 C.-1 D.2
2、对于任意实数,定义有序实数对与之间的运算“△”为:
。
如果对于任意实数,都有,那么为( B )。
A. B. C. D.
3、已知是两个锐角,且满足,,则实数所有可能值的和为( C )
A. B. C.1 D.
A
B
C
E
D
F
4、如图,点分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设,,,,则与的大小关系为( C )
A.<
B.=
C.>
D.不能确定
5、设,则4S的整数部分等于( A )
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6、两条直角边长分别是整数(其中),斜边长是的直角三角形的个数为__31__。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;
另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。
同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。
y
x
O
8、如图,双曲线与矩形OABC的边CB,BA分别交于点E,F且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为_____;
9、⊙的三个不同的内接正三角形将⊙分成的区域的个数为_____。
28
10、设四位数满足,则这样的四位数的个数为___。
5
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值。
解:
设方程的两个根为α、β,其中α、β为整数,且α≤β
则方程的两个整数根为α+1、β+1,
由根与系数关系得:
α+β=-a,(α+1)(β+1)=a
两式相加得:
αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3
∴或解得:
或
又∵a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)]
∴a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6
故=-3或=29
H
P
Q
12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙和△BCH的外接圆⊙相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:
点P为CH的中点。
证明:
如图,延长AP交⊙于点Q
连结AH,BD,QC,QH
∵AB为直径∴∠ADB=∠BDQ=900
∴BQ为⊙的直径
于是CQ⊥BC,BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC,BH⊥AC
∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点。
13、若从1,2,3,…,中任取5个两两互素的不同的整数,,,,,其中总有一个整数是素数,求的最大值。
解:
若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数,,,,,
若,,,,都不是素数,则,,,,中至少有四个数是合数,不妨假设,,,为合数,
设,,,的最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4
由于,,,两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同
设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7
因为,,,为合数,所以,,,中一定存在一个
aj≥p2≥72=49,与n≥49矛盾,于是,,,,中一定有一个是素数
综上所述,正整数n的最大值为48。
14、如图,△ABC中,∠BAC=60°
,AB=2AC。
点P在△ABC内,且PA=,PB=5,PC=2,求△ABC的面积。
如图,作△ABQ,使得:
∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,
M
则△ABQ∽△ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2
于是,AQ=2AP=2,BQ=2CP=4
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°
由AQ:
AP=2:
1知,∠APQ=900
于是,PQ=AP=3
∴BP2=25=BQ2+PQ2从而∠BQP=900
作AM⊥BQ于M,由∠BQA=1200,知
∠AQM=600,QM=,AM=3,于是,
∴AB2=BM2+AM2=(4+)2+32=28+8
故S△ABC=AB•ACsin600=AB2=
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