人教版七年级(下)相交线与平行线知识点及典型例题Word文档格式.doc
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反之如果∠α=∠β,那么∠α与
∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°
;
反之如果∠α+∠β=180°
,则∠α与∠β不一定是邻补角。
[4]两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
练习:
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有()毛
图1-1
A.1个 B.2个C.3个D.4个
2.如图1-1,直线AB、CD、EF都经过点O,
图中有几对对顶角?
(图1-2)
3.如图1-2,若∠AOB与∠BOC是一对邻补角,
OD平分∠AOB,OE在∠BOC内部,
并且∠BOE=∠COE,∠DOE=72°
。
求∠COE的度数。
A
B
C
D
O
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是
直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫
做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;
⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;
②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
P
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,
⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,
⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,
叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
⑴垂线与垂线段
区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;
垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征。
(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
联系:
都是线段的长度;
点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离:
距离是线段的长度,是一个量;
线段是一种图形,它们之间不能等同。
例已知:
如图,在一条公路的两侧有A、B两个村庄.
<
1>
现在乡政府为民服务,沿公路开通公交汽车,并在路边修建一个公共汽车站P,同时修建车站P到A、B两个村庄的道路,并要求修建的道路之和最短,请你设计出车站的位置,在图中画出点P的位置,(保留作图的痕迹).并在后面的横线上用一句话说明道理..
<
2>
为方便机动车出行,A村计划自己出资修建
一条由本村直达公路的机动车专用道路,你能帮
助A村节省资金,设计出最短的道路吗?
,请在图中画出你设计修建的最短道路,并在
后面的横线上用一句话说明道理..
二、平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线与直线互相平行,记作∥。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;
⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;
反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――存在性与惟一性:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵∥,∥
∴∥
5
6
7
8
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了
同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线被直线所截
①∠1与∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线的两旁(交错),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角。
9
F
E
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;
内错角是“Z”型;
同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成
这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或
把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
如图,判断下列各对角的位置关系:
⑴∠1与∠2;
⑵∠1与∠7;
⑶∠1与∠BAD;
⑷∠2与∠6;
⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;
∠1与∠7是同位角;
∠1与∠BAD是同旁内角;
∠2与∠6是内错角;
∠5与∠8对顶角。
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,
不是两直线被第三条直线所截而成。
同位角、内错角和同旁内角的判断
1.如图3-1,按各角的位置,下列判断错误的是()
(A)∠1与∠2是同旁内角(B)∠3与∠4是内错角
(C)∠5与∠6是同旁内角(D)∠5与∠8是同位角
2.如图3-2,与∠EFB构成内错角的是____,与∠FEB构成同旁内角的是____.
图3-1
图3-2
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵∠3=∠2∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
即先写角相等,然后写平行。
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
例题:
判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
三、平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:
∵AB∥CD ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD ∴∠4+∠2=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
G
H
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,
则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,
过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也
就是直线AB与CD间的距离。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中:
由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;
由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
(图4-2)
练习题
1.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为52°
,
则另一个角为_______.
2.两条平行直线被第三条直线所截时,产生的八个角中,
角平分线互相平行的两个角是()
A.同位角B.同旁内角
C.内错角D.同位角或内错角
3.如图4-2,要说明AB∥CD,需要什么条件?
试把所有可能的情况写出来,并说明理由。
4.如图4-3,EF⊥GF,垂足为F,∠AEF=150°
图4-3
∠DGF=60°
试判断AB和CD的位置关系,并说明理由。
5.如图4-4,AB∥DE,∠ABC=70°
,∠CDE=147°
,求∠C的度数.
图4-4
图4-5
6.如图4-5,CD∥BE,则∠2+∠3−∠1的度数等于多少?
图4-6
7.如图4-6:
AB∥CD,∠ABE=∠DCF,求证:
BE∥CF.
9.⑴如图,已知∠1=∠2 求证:
直线,
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- 人教版七 年级 相交 平行线 知识点 典型 例题