考研三角函数公式.doc
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考研三角函数公式.doc
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三角公式表
倒数关系:
商的关系:
平方关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
诱导公式(口诀:
奇变偶不变,符号看象限。
)
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
(其中k∈Z)
两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=——————
1-tanα·tanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=——————
1+tanα·tanβ
2tan(α/2)
sinα=——————
1+tan2(α/2)
1-tan2(α/2)
cosα=——————
1+tan2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
2tanα
tan2α=—————
1-tan2α
sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
3tanα-tan3α
tan3α=——————
1-3tan2α
三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin———·cos———
2 2
α+β α-β
sinα-sinβ=2cos———·sin———
2 2
α+β α-β
cosα+cosβ=2cos———·cos———
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin———·sin———
2 2
1
sinα·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]
2
1
cosα·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]
2
1
cosα·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]
2
1
sinα·sinβ=—-[cos(α+β)-cos(α-β)]
2
反三角函数
一、正切函数与余切函数图象
二、正、余切函数的性质
y=tanx
y=cotx
定义域
值域
R
R
单调性
在上单增(k∈Z)
在上单减(k∈Z)
周期性
T=π
T=π
对称性
10对称中心,奇函数(k∈Z)
20对称轴;无
10对称中心,奇函数(k∈Z)
20对称轴;无
注:
1、由定义域知,y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点(不连续点).
2、每个单元区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题,但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应,要使其有反函数,必须缩小自变量x的范围,使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言,这个x的范围应该
(1)离原点较近;
(2)包含所有的锐角;(3)能取到所有的函数值;(4)最好是连续区间.从这个原则出发,我们给出如下定义:
1.y=sinx,x∈的反函数记作y=arcsinx,x∈[-1,1],称为反正弦函数.
y=cosx,x∈的反函数记作y=arccosx,x∈[-1,1],称为反余弦函数.
y=tanx,x∈的反函数记作y=arctanx,x∈R,称为反正切函数.
y=cotx,x∈的反函数记作y=arccotx,x∈R,称为反余切函数.
2.反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系,可作出其图象.
注:
(1)y=arcsinx,x∈[-1,1]图象的两个端点是
(2)y=arccosx,x∈[-1,1]图象的两个端点是(1,0)和(-1,π).
(3)y=arctanx,x∈R图象的两条渐近线是和.
(4)y=arccotx,x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象
y=arcsinx
y=arccosx
y=arctanx
y=arccotx
定义域
[-1,1]
[-1,1]
R
R
值域
[0,π]
(0,π)
单调性
在[-1,1]上单增
在[-1,1]上单减
在R上单增
在R上单减
对称性
10对称中心
(0,0)奇函数
20对称轴;无
10对称中心非奇非偶
20对称轴;无
10对称中心
(0,0)奇函数
20对称轴;无
10对称中心非奇非偶
20对称轴;无
周期性
无
无
无
无
另外:
1.三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x∈) arccos(cosx)=x(x∈[0,π])
arctan(tanx)=x(x∈) arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
2.反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1]) cos(arccosx)=x(x∈[-1,1])
tan(arctanx)=x(x∈R) cot(arccotx)=x(x∈R)
3.x与-x的反三角函数值关系
arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])
arccos(-x)=π-arccosx(x∈[-1,1])
arctan(-x)=-arctanx(x∈R)
arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)
4.,
五、已知三角函数值求角
1.若sinx=a(|a|≤1),则x=kπ+(-1)karcsina(k∈Z)
2.若cosx=a(|a|≤1),则x=2kπ+arccosa(k∈Z)
3.若tanx=a(a∈R),则x=kπ+arctana(k∈Z)
4.若cotx=a(a∈R),则x=kπ+arccota(k∈Z)
-5-
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