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[1]六个计算标准偏差的公式[编辑]
标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l、l、„„l。
令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有σ=l?
X1i
σ=l?
X22
„„
Xnn
我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
(1)
由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值
来代表真值。
理论上也证明,随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ,即
设一组等精度测量值为l、l、„„l12n
则
通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
将上式代入式
(1)有
(2)
式
(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时,
可见贝塞尔公式与σ的定义式
(1)是完全一致的。
应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此,我们称式
(2)为标准偏差σ的常用估计。
为
了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”表示。
于是,将式
(2)改写为
(2'
)
在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导(过程从略)有
于是,式(2'
)可写为
(2"
按式(2"
)求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。
标准偏差σ的无偏估计
2数理统计中定义S为样本方差
222数学上已经证明S是总体方差σ的无偏估计。
即在大量重复试验中,S围2绕σ散布,它们之间没有系统误差。
而式(2'
)在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。
概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计值为
(3)
令
即S和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数,K1σσ
值见表。
σ
计算K时用到σ
Γ(n+1)=nΓ(n)
Γ
(1)=1
由表1知,当n>
30时,。
因此,当n>
30时,式(3'
)和式(2'
)之间的差异可略而不计。
在n=30,50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。
当n<
10时,由于K值的影响已不可忽略,宜用式(3'
),求标准偏差。
这时σ
再用贝塞尔公式显然是不妥的。
标准偏差的最大似然估计
将σ的定义式
(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到
(4)
式(4)适用于n>
50时的情况,当n>
50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。
2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大,不宜现场采用,而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。
极差用"
R"
表示。
所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得l、,且它们服从正态分布,则1
R=l?
lmaxmin
概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为
(5)
S称为标准偏差σ的无偏极差估计,d为与样本个数n(测得值个数)有关的32
无偏极差系数,其值见表2
由表2知,当n?
15时,,因此,标准偏差σ更粗略的估计值为
(5'
还可以看出,当200?
n?
1000时,因而又有
(5"
显然,不需查表利用式(5'
)和(5"
)了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低,但当5?
15时,式(5)不仅大大提高了计算速度,而且还颇为准确。
当n>
10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组的极差R、,再由各组极差求出极差平均值。
1
极差平均值和总体标准偏差的关系为
需指出,此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查2
表2。
再则,分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
编辑][
标准偏差σ的平均误差估计
平均误差的定义为
误差理论给出
(A)
可以证明与的关系为
(证明从略)
于是(B)
由式(A)和式(B)得
从而有
式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。
用该公式估计δ值,由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。
但该式的准确度不如贝塞尔公式。
该式使用条件与贝塞尔公式相似。
[1]标准偏差的应用实例
对标称值R=0.160<
math>
μm<
的一块粗糙度样块进行检定,a
顺次测得以下15个数
据:
1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1
.74和1.63μm,试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。
n
解:
1)先求平均值
2)再求标准偏差S
若用无偏极差估计公式式(5)计算,首先将测得的,15个数据按原顺序分为三组,每组五个,见表3。
表3
组号l_1l_5R
11.481.651.601.671.520.19
21.461.721.691.771.640.31
31.561.501.641.741.630.24
因每组为5个数据,按n=5由表2查得
故
若按常用估计即贝塞尔公式式(2'
),则
若按无偏估计公式即式(3'
)计算,因n=15,由表1查得K=1.018,则δ
若按最大似然估计公式即式(4'
)计算,则
=0.09296(<
)
若按平均误差估计公式即式(6),则
现在用式(5'
)对以上计算进行校核
可见以上算得的S、S、S、S和S没有粗大误差。
1234
由以上计算结果可知0.09296<
0.0962<
0.0979<
0.1017<
0.1062
即<
<
SS<
S<
SS2143
可见,最大似然估计值最小,常用估计值S稍大,无偏估计值S又大,平1均误差估计值S再大,极差估计值S最大。
纵观这几个值,它们相当接近,最43
。
从理论上讲,用无偏估计值和常用估计比较合适,在大差值仅为0.01324μm
本例中,它们仅相差0.0017μ、、和之m。
可以相信,随着的增大,S、SSSS1234间的差别会越来越小。
就本例而言,无偏极差估计值S和无偏估计值S仅相差0.0083μm,这说明31
无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定R的平均值对其标称值的偏离不应a
超过+12%,17%,标准偏差应在标称值的4%,12%之间。
已得本样块二产,产均在规定范围之内,故该样块合格。
标准偏差与标准差的区别
标准差(StandardDeviation)各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离差平方和平均后的方根。
用σ表示。
因此,标准差也是一种平均数。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的,标准差未必相同。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分,B组的标准差为2.16分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
标准偏差(StdDev,StandardDeviation)-统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准,用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
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