全国初中数学联合竞赛试题及答案Word格式.doc
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3.若是两个正数,且则(C)
A..B..C..D..
4.若方程的两根也是方程的根,则的值为(A)
A.-13.B.-9.C.6.D.0.
5.在△中,已知,D,E分别是边AB,AC上的点,且,,,则(B)
A.15°
.B.20°
.C.25°
.D.30°
.
6.对于自然数,将其各位数字之和记为,如,,则(D)
A.28062.B.28065.C.28067.D.28068.
二、填空题:
(本题满分28分,每小题7分)
1.已知实数满足方程组则13.
2.二次函数的图象与轴正方向交于A,B两点,与轴正方向交于点C.已知,,则.
3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA=,PC=5,则PB=______.
4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.
第二试(A)
一.(本题满分20分)设整数()为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解由已知等式可得
①
令,则,其中均为自然数.
于是,等式①变为,即
②
由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:
和
(1)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
(2)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知:
符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.
二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明:
PD是⊙I的切线.
证明过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.
由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三.(本题满分25分)已知二次函数的图象经过两点P,Q.
(1)如果都是整数,且,求的值.
(2)设二次函数的图象与轴的交点为A、B,与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数,求△ABC的面积.
解点P、Q在二次函数的图象上,故,,
解得,.
(1)由知解得.
又为整数,所以,,.
(2)设是方程的两个整数根,且.
由根与系数的关系可得,,消去,得,
两边同时乘以9,得,分解因式,得.
所以或或或
解得或或或
又是整数,所以后面三组解舍去,故.
因此,,,二次函数的解析式为.
易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为.
第二试(B)
一.(本题满分20分)设整数为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).
解不妨设,由已知等式可得
二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.
第二试(C)
一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.
二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
三.(本题满分25分)设是大于2的质数,k为正整数.若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.
解由题意知,方程的两根中至少有一个为整数.
由根与系数的关系可得,从而有
①
(1)若,则方程为,它有两个整数根和.
(2)若,则.
因为为整数,如果中至少有一个为整数,则都是整数.
又因为为质数,由①式知或.
不妨设,则可设(其中m为非零整数),则由①式可得,
故,即.
又,所以,即
②
如果m为正整数,则,,从而,与②式矛盾.
如果m为负整数,则,,从而,与②式矛盾.
因此,时,方程不可能有整数根.
综上所述,.
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