自主招生华约数学试题及答案Word文档下载推荐.doc
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2.在正四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PA,PB的中点,且侧面与地面所成二面角的正切值为。
则一面直线DM与AN所成交角的余弦值为
(A) (B)(C) (D)
【答案】B
3.过点的直线与曲线相切,且不是切点,则直线的斜率是
(A)2 (B)1(C) (D)
【答案】C
4.若,则的最小值和最大值分别为
(A)(B)(C)(D)
B
A
O1
O
O2
C
5.如图,⊙O1和⊙O2外切于点C,⊙O1,⊙O2又都和⊙O内切,切点分别为A,B。
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B或C?
6.已知异面直线所成60°
角,A为空间中一点,则过A与都成45°
角的平面
(A)有且只有一个 (B)有且只有两个
(C)有且只有三个 (D)有且只有四个
7.已知向量,,,。
则的最小值为
(A)1(B)(C)(D)2
8.AB过抛物线焦点F的弦,O为坐标原点,且,C为抛物线准线与x轴的交点,则的正切值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
B
A
C
D
E
F
9.如图,已知△ABC的面积为2,D,E分别为边AB,边AC上的点,F为线段DE上一点,设,且,则△BDF面积的最大值为
(A) (B)
(C) (D)
10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形,这些对角线在正11边形内两两不相交,则
(A)存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形
(B)存在某种分法,所分出的三角形恰有2个是锐角三角形
(C)存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三角形
(D)任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
【答案】
二、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
11.(本小题满分14分)
已知△ABC不是直角三角形。
(I)证明:
;
(II)若,且的倒数成等差数列,
求的值。
12.(本小题满分14分)
已知圆柱形水杯质量为a克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直立放置)。
质量为b克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。
(Ⅰ)若,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;
(Ⅱ)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?
为什么?
13.(本小题满分14分)
已知函数,,,令,。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明:
。
14.(本小题满分14分)
已知双曲线(),,分别为C的左、右焦点,P为C右支上一点,且使,又△F1PF2的面积为。
(Ⅰ)求C的离心率e;
(Ⅱ)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数,使得恒成立。
若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由。
15.(本小题满分14分)
将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以表示未出现连续3次正面的概率。
(Ⅰ)求和;
(Ⅱ)探究数列的递推公式,并给出证明;
(Ⅲ)讨论数列的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。
解答:
(1),,,,,,,。
(Ⅱ)
①如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的,所以这个时候不出现连续3次正面的概率是;
②如果第n次出现正面,第次出现反面,那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的,所以这个时候不出现连续3次正面的概率是;
③如果第n次出现正面,第次出现正面,第次出现反面,那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的,所以这个时候不出现连续3次正面的概率是。
④如果第n次出现正面,第次出现正面,第次出现正面,那么已经出现连续3次正面,所以不需要考虑。
综上,有()。
其中,,。
我们先定义几个函数:
f(n):
将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,至少有连续3次相同,总共有f(n)种情况。
g(n):
将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,至多连续2次相同(可以有不同的连续2次相同),且最后2次连续相同,总共有g(n)种情况。
h(n):
将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,至多连续2次相同(可以有不同的连续2次相同),且最后2次不相同,总共有h(n)种情况。
显然,下面的等式成立:
f(n)+g(n)+h(n)=2^n
f(n)=2f(n-1)+g(n-1)
g(n)=h(n-1)
化简得:
g(n+1)=g(n)+g(n-1)
这个著名数列就不再啰嗦了
最后由g(n)求得f(n)
当然,最后的结果是f(n)/2,因为连续正与连续负的情况是相等的
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