2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷).doc
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2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷).doc
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2017年全国高中数学联赛A卷一试
一、填空题
1.设是定义在上的函数,对任意实数有.又当时,,则的值为__________.
2.若实数满足,则的取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,为的上焦点,为的右顶点,是上位于第一象限内的动点,则四边形的面积的最大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是
5.正三棱锥中,,,过的平面将其体积平分,则棱与平面所成角的余弦值为__________.
6.在平面直角坐标系中,点集.在中随机取出三个点,则这三点中存在两点之间距离为的概率为__________.
7.在中,是边的中点,是线段的中点.若,的面积为,则的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列满足:
,对任意正整数,有,,则的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设为实数,不等式对所有成立.证明:
.
10.设是非负实数,满足,求的最小值和最大值.
11.设复数满足,,且(其中表示复数的实部).
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
2017年全国高中数学联赛A卷二试
一.如图,在中,,为的内心,以为圆心,为半径作圆,以为圆心,为半径作圆,过点的圆与,分别交于点(不同于点).设与交于点.证明:
二.设数列定义为,.求满足的正整数的个数.
三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
四.设均是大于1的整数,,是个不超过的互不相同的正整数,且互素.证明:
对任意实数,均存在一个,使得,这里表示实数到与它最近的整数的距离.
2017年全国高中数学联赛A卷
一试答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2017年全国高中数学联赛A卷
二试答案
一.
二.
三.
四.
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- 2017 全国 高中数学 联合 竞赛 试题 解答
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