高三数学第一轮复习测试及详细解答(2)《数列》Word文档格式.doc
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(该直线不过原点O),则S200= ()
A.100 B.101 C.200 D.201
8.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
()
A. B. C. D.
9.设,则等于 ()
A. B. C. D.
10.弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下的弹子尽可能的少,那么剩下的弹子有 ()
A.3 B.4 C.8 D.9
11.设数列的前n项和为,令,称为数列,,……,的“理想数”,已知数列,,……,的“理想数”为2004,那么数列2,,,……,的“理想数”为 ()
A.2002 B.2004 C.2006 D.2008
12.一给定函数的图象在下列图中,并且对任意,由关系式得到的数列满足,则该函数的图象是
ABCD
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
13.数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=.
14..
15.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某
商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正
三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,
就一个乒乓球;
第2、3、4、…堆最底层(第
一层)分别按图4所示方式固定摆放.从第一
层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,
第n堆第n层就放一个乒乓球,以表示第n堆的乒乓球总数,则
;
(答案用n表示).
16.已知整数对排列如下,
则第60个整数对是_______________.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
数列{an}的前n项和记为Sn,
(1)求{an}的通项公式;
(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且,又成等比数列,求Tn
18.(本小题满分12分)
设数列、、满足:
,(n=1,2,3,…),
证明:
为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…)
19.(本小题满分12分)
已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;
是公差为的等差数列;
是公差为的等差数列().
(1)若,求;
(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同
(2)类似的问题(
(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
20.(本小题满分12分)
某市去年11份曾发生流感,据统计,11月1日该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人,由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?
并求这一天的新患者人数.
21.(本小题满分12分)
等差数列中,,公差是自然数,等比数列中,.
(Ⅰ)试找出一个的值,使的所有项都是中的项;
再找出一个的值,使的项不都是中的项(不必证明);
(Ⅱ)判断时,是否所有的项都是中的项,并证明你的结论;
(Ⅲ)探索当且仅当取怎样的自然数时,的所有项都是中的项,并说明理由.
22.(本小题满分14分)
已知数列{}中,(n≥2,),
(1)若,数列满足(),求证数列{}是等差数列;
(2)若,求数列{}中的最大项与最小项,并说明理由;
(3)(理做文不做)若,试证明:
.
参考答案
(2)
1.D.依题意有
2.C. ,故选C.
3.B.∵等差数列中,∴公差.
∴==42.
4.B. 因为,所以=54,故选B.
5.A. 由等差数列的求和公式可得且
所以,故选A.
6.B.,,
将代入,得,从而.选B.
7.A. 依题意,a1+a200=1,故选A.
8.C.因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则
即,所以,故选择答案C.
9.D. f(n)=,选D.
10.B. 正四面体的特征和题设构造过程,第k层为k个连续自然数的和,化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有,k最大为6,剩4,选B.
11.A.认识信息,理解理想数的意义有,
,选A.
12.A.函数认识数列,则函数在上为凸函数,选A.
13.由,即=2,所以数列{+3}是以(+3)为首项,以2为公比的等比数列,故+3=(+3),=-3.
14.由,整体求和所求值为5.
15.
的规律由,所以
所以
16.观察整数对的特点,整数对和为2的1个,和为3的2个,和为4的3个,和为5的4个,和n为的
n-1个,于是,借助估算,取n=10,则第55个整数对为,注意横
坐标递增,纵坐标递减的特点,第60个整数对为
17.
(1)由可得,两式相减得
又∴故{an}是首项为1,公比为3得等比数列∴.
(2)设{bn}的公差为d,由得,可得,可得,
故可设
又由题意可得解得
∵等差数列{bn}的各项为正,∴,∴∴
18.必要性:
设数列是公差为的等差数列,则:
==-=0,
∴(n=1,2,3,…)成立;
又=6(常数)(n=1,2,3,…)
∴数列为等差数列.
充分性:
设数列是公差为的等差数列,且(n=1,2,3,…),
∵……①∴……②
①-②得:
=
∵
∴……③从而有……④
④-③得:
……⑤
∵,,,
∴由⑤得:
(n=1,2,3,…),
由此,不妨设(n=1,2,3,…),则(常数)
故……⑥
从而……⑦
⑦-⑥得:
,
故(常数)(n=1,2,3,…),
∴数列为等差数列.
综上所述:
为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…).
19.
(1).
(2),,
当时,.
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是:
试写出关于的关系式,并求的取值范围.
研究的结论可以是:
由,
依次类推可得
当时,的取值范围为等.
20.设第n天新患者人数最多,则从n+1天起该市医疗部门采取措施,于是,前n天流感病毒感染者总人数,构成一个首项为20,公差为50的等差数列的n项和,,而后30-n天的流感病毒感染者总人数,构成一个首项为,公差为30,项数为30-n的等差数列的和,依题设构建方程有,化简,或(舍),第12天的新的患者人数为20+(12-1)·
50=570人.故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,新患者人数为570人.
21.
(1)时,的项都是中的项;
(任一非负偶数均可);
时,的项不都是中的项.(任一正奇数均可);
(2)时,
的项一定都是中的项
(3)当且仅当取(即非负偶数)时,的项都是中的项.
理由是:
①当时,时,
,其中
是的非负整数倍,设为(),只要取即(为正整数)即可得,
即的项都是中的项;
②当时,不是整数,也不可能
是的项.
22.
(1),而,∴.
∴{}是首项为,公差为1的等差数列.
(2)依题意有,而,
∴.对于函数,在x>3.5时,y>0,,在(3.5,)
上为减函数. 故当n=4时,取最大值3.而函数在x<3.5时,y<0,
,在(,3.5)上也为减函数.故当n=3时,取最小值,=-1.
(3)先用数学归纳法证明,再证明.①当时,成立;
②假设当时命题成立,即,当时,
故当时也成立,
综合①②有,命题对任意时成立,即.
(也可设(1≤≤2),则,
故).
下证:
.
-13-
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