变速问题(带答案).doc
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变速问题(带答案).doc
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变速问题
教学目标
1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点
2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。
3、变速变道问题的关键是如何处理“变”
知识精讲
变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。
对于这种分段变速问题,利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来;
折线图则显得非常直观,每一次相遇点的位置也易于确定;
方程的优点在于无需考虑得非常仔细,只需要知道变速点就可以列出等量关系式,把大量的推理过程转化成了计算.
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件;
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具.示意图包括线段图和折线图.图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点.另外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法;
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题;
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.
模块一、变速问题
【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52米,小强每分走70米,二人在途中的A处相遇。
若小红提前4分出发,且速度不变,小强每分走90米,则两人仍在A处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米?
【解析】因为小红的速度不变,相遇的地点不变,所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变,也就是说,小强第二次走的时间比第一次少4分钟。
(70×4)÷(90-70)=14分钟可知小强第二次走了14分钟,他第一次走了14+4=18分钟;两人家的距离:
(52+70)×18=2196(米).
【例2】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
【解析】因为相遇前后甲,乙的速度和没有改变,如果相遇后两人和跑一圈用24秒,则相遇前两人和跑一圈也用24秒。
以甲为研究对象,甲以原速V跑了24秒的路程与以(V+2)跑了24秒的路程之和等于400米,24V+24(V+2)=400易得V=米/秒
【例3】(2008年日本小学算术奥林匹克大赛)上午点整,甲从地出发匀速去地,点分甲与从地出发匀速去地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的倍,乙速度不变;点分,甲,乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从地出发时是点分.
【解析】点分相遇,此时甲距离地的距离是甲走了分钟的路程,点分时乙到达目的地,说明乙走这段路程花了分钟,所以乙的速度是甲速度的两倍,当甲把速度提高到原速的倍时,此时甲的速度是乙速度的倍,甲从相遇点走到点花了分钟,因此乙原先花了(分钟),所以乙是点分出发的.
【例4】(难度等级※※※)A、B两地相距7200米,甲、乙分别从A,B两地同时出发,结果在距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍,那么两人可提前10分钟相遇,则甲的速度是每分钟行多少米?
【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400米,根据时间一定,速度比等于路程之比,最初甲、乙的速度比为(7200-2400):
2400=2:
1,所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3.乙的速度提高3倍后,两人速度比为2:
3,根据时间一定,路程比等于速度之比,所以第二种情况中相遇时甲走了全程的.两种情况相比,甲的速度没有变化,只是第二种情况比第一种情况少走10分钟,所以甲的速度为(米/分).
【例5】(难度等级※※※)甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点16千米.甲车原来每小时行多少千米?
【解析】设乙增加速度后,两车在D处相遇,所用时间为T小时。
甲增加速度后,两车在E处相遇。
由于这两种情况,两车的速度和相同,所以所用时间也相同。
于是,甲、乙不增加速度时,经T小时分别到达D、E。
DE=12+16=28(千米)。
由于甲或乙增加速度每小时5千米,两车在D或E相遇,所以用每小时5千米的速度,T小时走过28千米,从而T=28÷5=小时,甲用6-=(小时),走过12千米,所以甲原来每小时行12÷=30(千米)
【巩固】(难度等级※※※)甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行,5小时后相遇在C点。
如果甲速度不变,乙每小时多行4千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点D距C点lO千米;如果乙速度不变,甲每小时多行3千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点E距C点5千米。
问:
甲原来的速度是每小时多少千米?
【解析】当乙每小时多行4千米时,5小时可以多行20千米,所以当两人相遇后继续向前走到5小时,甲可以走到C点,乙可以走到C点前面20千米。
而相遇点D距C点lO千米,因此两人各走了10千米,所以甲乙二人此时速度相等,即原来甲比乙每小时多行4千米。
同理可得,甲每小时多行3千米时,乙走5千米的时间甲可以走10千米,即甲的速度是乙的2倍。
(4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时),所以甲原来的速度是每小时11千米。
【例6】A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计),甲、乙二人分别从两地同时出发,3小时后在桥上相遇.如果甲加快速度,每小时多走2千米,而乙提前0.5小时出发,则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟0.5小时出发,乙每小时少走2千米,还会在桥上相遇.则A、B两地相距多少千米?
【解析】因为每次相遇的地点都在桥上,所以在这三种情况中,甲每次走的路程都是一样的,同样乙每次走的路程也是一样的.在第二种情况中,乙速度不变,所以乙到桥上的时间还是3小时,他提前了0.5小时,那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时.甲每小时多走2千米,2.5小时就多走2×2.5=5千米,这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的,所以甲的速度是5÷0.5=10千米/时.在第三种情况中,甲速度不变,所以甲到桥上的时间还是3小时,他延迟了0.5小时,那么乙到桥上的时间是3+0.5=3.5小时.乙每小时少走2千米,3.5小时就少走2×3.5=7千米,这7千米就是甲原来3.5-3=0.5小时走的,所以乙的速度就是7÷0.5=14千米/时.所以A、B两地的距离为(10+14)×3=72千米.
【例7】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的地晚1.5小时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时,然后同样以原速的3/4前进,则到达目的地仅晚1小时,那么整个路程为多少公里?
【解析】出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的前进,最终到达目的地晚1.5小时,所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时,而速度为原来的,所用时间为原来的,所以后面的一段路程原定时间为小时,原定全程为4小时;出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时,然后同样以原速的前进,则到达目的地仅晚1小时,类似分析可知又前进90公里后的那段路程原定时间为小时.所以原速度行驶90公里需要1.5小时,而原定全程为4小时,所以整个路程为公里.
【例8】王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?
【解析】从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,即车速为原计划的10/9,则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间,所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为:
1.5÷1/10=15(小时);按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7,即此后比原计划少用1/7的时间,所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为:
5/3÷1/7=35/3(小时),所以,原计划的速度为:
84(千米/时),北京、上海两市间的路程为:
84×15=1260(千米).
【例9】上午8点整,甲从A地出发匀速去B地,8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变;8点30分,甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从B地出发时是8点几分.
【解析】甲、乙相遇时甲走了20分钟,之后甲的速度提高到原来的3倍,又走了10分钟到达目的地,根据路程一定,时间比等于速度的反比,如果甲没提速,那么后面的路甲需要走10×3=30分钟,所以前后两段路程的比为20:
30=2:
3,由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟,所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟,也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟,所以乙从B地出发时是8点5分.
【例10】(难度等级※※)甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,而且甲比乙速度快。
两人出发后1小时,甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时?
【解析】甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲走过的路程应该是一个单程的1×1.5+1/2=2倍,就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。
两人相遇时走了1小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了1小时,所以甲下山要用1/2小时。
甲一共走了1+1/2=1.5(小时)
【例11】小华以每小时8/3千米的速度登山,走到途中A点后,他将速度改为每小时2千米,在接下来的1小时中,他走到山顶,又立即下山,并走到A点上方500米的地方.如果他下山的速度是每小时4千米,下山比上山少用了52.5分钟.那么,他往返共走了多少千米?
【解析】11千米
【例12】(难度等级※※※※)甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行,5小时相遇;如果乙车提前1小时出发,则差13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前1小时出发,则过中
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