二次根式讲义Word格式.doc
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教学步骤及内容
一、错题回顾
二、知识总结
1、二次根式的概念(例1)
一般地,我们把形如的式子叫做二次根式.在二次根式中,可以是一个数,也可以是一个代数式,但不管是什么形式,作为被开方数的必须满足,当时,二次根式无意义.也就是说,当被开方数时,二次根式才有意义.
注意:
二次根式的两个基本特征:
一是根指数为2,二是被开方数为非负数.比如等均是二次根式,而像等均不是二次根式.
2、二次根式的性质(例2)
(1)二次根式的非负性,即,这一性质也是非负数的算术平方根.
(2)一个非负数的算术平方根的平方是它本身,即.把公式反过来就得到了式子,也就是说,逆用这一性质,可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.
(3)任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值,即.
3、积的算术平方根的性质(例3)
积的算术平方根的性质:
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即
(1)在这个性质中,可以是实数,也可以是代数式,但不管是实数,还是代数式,都必须使二次根式有意义,即.要防止出现这样的错误.
(2)另外该性质并非局限于被开方数为两个因数,它可以推广到更多个,如.
(3)如果一个二次根式的被开方数比较大,可以运用该性质将其分解为若干个,再分别运用化简二次根式.
4、商的算术平方根的性质(例4)
商的算术平方根的性质:
商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即可以简单地说:
商的算术平方根等于算术平方根的商.
(1)在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时,一定要准确把握性质成立的条件,即被开方数的分子为非负数,而分母大于0.
(2)如果被开方数是带分数,应先化成假分数,如必须先化成,注意;
如果被开方数是小数,应先化成分数,如必须先化成
5、最简二次根式(例5)
定义:
一般地,如果一个二次根式满足下面两个条件,那么,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
如都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号,如不是最简二次根式.
把二次根式化为最简二次根式时,当被开方数为小数或分数时,可运用商的算术平方根的性质变形,使被开方数化为整数;
当被开方数为整数时,可以把它分解因数,再运用积的算术平方根的性质变形,化为最简二次根式.
6、二次根式的乘法和除法(例6)
(1)把积的算术平方根的性质反过来写为,则为二次根式的乘法法则,即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算,如.二次根式前面有系数时,可类比单项式乘单项式的法则进行计算,即系数之积作为积的系数,被开方数之积作为被开方数.
(2)把商的算术平方根的性质反过来写为,则为二次根式的除法法则,即二次根式相除,就是把被开方数相除,根指数不变.
二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算,在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用,但始终要注意法则与性质成立的条件.
7、分母有理化(例7)
把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.例如
(1)有理化因式:
两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式互为有理化因式.
(2)分母有理化的依据:
分式的基本性质.
(3)分母有理化的方法:
将分子和分母都乘分母的有理化因式,化去分母中的二次根式.
(4)分母有理化因式不唯一,但以运算最简便为宜,如的有理化因式是.
8、二次根式的合并(例8)
合并被开方数相同的二次根式,把系数相加减,根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似,例如.二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.
9、二次根式的加减法(例9)
二次根式的加减法法则:
二次根式的加减运算,就是将被开方数相同的项进行合并。
为此,首先应将每个二次根式化为最简二次根式,然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.可简单地概括为:
先化简,后合并.
(1)二次根式的加减实际上就是合并被开方数相同的二次根式,因此在进行二次根式加减时,能否准确化简二次根式是关键.化成最简二次根式后,被开方数不同的二次根式不能合并,如就是最简结果,不能再合并.
(2)二次根式的加法也满足加法交换律和结合律.
10、二次根式的混合运算
(1)运算顺序:
与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算,也应先算乘除,后算加减;
有括号时,先算括号内的.
(2)二次根式混合运算的结果应写为最简形式,这个形式可以是最简二次根式,也可以是几个非同类最简二次根式的和或差.
(3)在运算过程中,每个二次根式都可以看成是一个“单项式”,因此实数运算中的运算律(结合律、交换律、分配律等)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二次根式的运算中仍然适用.
三、例题讲解
1、下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?
(1);
(2);
(3)(4)
2、化简:
(1);
(3);
(4)
3、化简:
(2)
4、化简:
5、化简
6、计算:
7、把下列各式分母有理化:
(2).
8、合并被开方数相同的二次根式:
(2)
9、
(1);
10、
(1)(
(2)
四、中考链接
1、若实数满足,则_______
2、计算=_______
3、计算________
4、计算________
5、计算:
_________
6、_________
7、_______
8、先化简,再求值:
,其中
9、计算:
(1)
(2)
10、计算:
五、巩固提高
1、化简的结果是()
A.10B.2C.D.20
2、计算________
3、计算________
4、计算_________
5、计算:
6、计算:
7、计算________
8、计算:
(1)
9、(岳阳)下列二次根式中属于最简二次根式的是()
A.B.C.D.
10、如果,那么()
A.x≥0B.x≥6C.0≤x≤6D.x为一切实数
11、(湖南长沙)小明的作业本上有以下四题:
①;
②;
③;
④。
做错的题是()
A.①B.②C.③D.④
12、化简的结果为()
A.B.C.D.
13、(青海)若最简二次根式的被开方数相同,则a的值为()
A.B.C.a=1D.a=—1
14、(江西)化简得()
A.—2B.C.2D.
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