初中数学抛物线与几何专题训练及答案Word文件下载.doc
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请你作出判断,并说明理由;
(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=,求抛物线F
对应的二次函数的解析式。
【思路点拨】
(1)由关系式来构建关于t、b的方程;
(2)讨论
t的取值范围,来求抛物线F对应的二次函数的解析式。
【例2】
(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
(1)求点A的坐标;
(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等
腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,
点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.
(3)可求得直线的函数关系式是y=-2x,所以应讨论①当点P在第二象限时,x<
0、②当点P在第四象限是,x>
0这二种情况。
B
O
A
P
M
【例3】
(浙江丽水)如图,在平面直角坐标系中,已知点坐标为(2,4),直线与轴相交于点,连结,抛物线从点沿方向平移,与直线交于点,顶点到点时停止移动.
(1)求线段所在直线的函数解析式;
(2)设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标;
②当为何值时,线段最短;
(3)当线段最短时,相应的抛物线上是否存在点,使△的面积与△的面积相等,若存在,请求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(2)构建关于的二次函数,求此函数的最小值;
(3)分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。
【例4】
(广东省深圳市)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,
使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点F的坐标;
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x
轴相切,求该圆半径的长度.
(4)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上
一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(2)可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时,求F点的坐标,再代入抛物线的表达式检验。
(3)讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。
(4)构建S关于x的二次函数,求它的最大值。
【例5】
(山东济南)已知:
抛物线(a≠0),顶点C(1,),与x轴交于A、B两点,.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,
PN⊥DB于N,请判断是否为定值?
若是,请求出此定值;
若不是,请说明理由.
C
x
D
E
N
y
(3)在
(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP,FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断是否成
立.若成立,请给出证明;
若不成立,请说明理由.
(2)证△APM∽△ABE,
同理:
(3)证PH=BH且△APM∽△PBH
再证△MEP∽△EGF可得。
【学力训练】
1、(广东梅州)如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系.
(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;
(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.
(3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?
(不必求点P的坐标,只需说明理由)
2、(广东肇庆)已知点A(a,)、B(2a,y)、C(3a,y)都在抛物线上.
(1)求抛物线与x轴的交点坐标;
(2)当a=1时,求△ABC的面积;
(3)是否存在含有、y、y,且与a无关的等式?
如果存在,试给出一个,并加以证明;
如果不存在,说明理由.
3、(青海西宁)如图,已知半径为1的与轴交于两点,为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点.
O1
(1)求二次函数的解析式;
(2)求切线的函数解析式;
(3)线段上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;
F
4、(辽宁12市)如图,在平面直角坐标系中,直线
与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点.
(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;
5
、(四川资阳)如图,已知点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连结BD,求直线BD的解析式;
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD?
如果存在,请求出点P的坐标;
如果不存在,请说明理由.
6、(辽宁沈阳)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的
负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.
(1)判断点是否在轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;
7、(苏州市)如图,抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M、N.直线y=kx+b
与x轴交于P(-2,0),与y轴交于C.若A、B两点在直线y=kx+b上,且AO=BO=,AO⊥BO.D为线段MN的中点,OH为Rt△OPC斜边上的高.
(1)OH的长度等于___________;
k=___________,b=____________;
(2)是否存在实数a,使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D、N、E为顶
点的三角形与△AOB相似?
若不存在,说明理由;
若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由);
并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·
PG<,写出探索过程.
H
-2
抛物线与几何问题的参考答案
【例1】(浙江杭州)
(1)∵平移的图象得到的抛物线的顶点为,
∴抛物线对应的解析式为:
.
∵抛物线与x轴有两个交点,∴.
令,得,,
∴)()|,
即,所以当时,存在抛物线使得.--2分
(2)∵,∴,得:
解得.
在中,
1)当时,由,得,
当时,由,解得,
此时,二次函数解析式为;
此时,二次函数解析式为++.
2)当时,由,将代,可得,,
(也可由代,代得到)
所以二次函数解析式为+–或.
(江苏常州)
(1)∵
∴A(-2,-4)
(2)四边形ABP1O为菱形时,P1(-2,4)
四边形ABOP2为等腰梯形时,P1()
四边形ABP3O为直角梯形时,P1()
四边形ABOP4为直角梯形时,P1()
(3)
由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x
①当点P在第二象限时,x<
0,
△POB的面积
∵△AOB的面积,
∴
∵,
即∴
∴x的取值范围是
②当点P在第四象限是,x>
过点A、P分别作x轴的垂线,垂足为A′、P′
则四边形POA′A的面积
∵△AA′B的面积
∴即∴
(第24题)
(浙江丽水)
(1)设所在直线的函数解析式为,
∵(2,4),
∴,,
∴所在直线的函数解析式为
(2)①∵顶点M的横坐标为,且在线段上移动,
∴(0≤≤2).
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时,
(0≤≤2).
∴点的坐标是(2,).
②∵==,又∵0≤≤2,
∴当时,PB最短
(3)当线段最短时,此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点,使.
设点的坐标为(,).
①当点落在直线的下方时,过作直线//,交轴于点,
∵,,
∴,∴,∴点的坐标是(0,).
∵点的坐标是(2,3),∴直线的函数解析式为.
∵,∴点落在直线上.
∴=.
解得,即点(2,3).
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点,使△与△的面积相等.
②当点落在直线的上方时,
作点关于点的对称称点,过作直线//,交轴于点,
∵,∴,∴、的坐标分别是(0,1),(2,5),
∴直线函数解析式为.
解得:
,.
代入,得,.
∴此时抛物线上存在点,
使△与△的面积相等.
综上所述,抛物线上存在点,
使△与△的面积相等.
(广东省深圳市)
(1)方法一:
由已知得:
C(0,-3),A(-1,0)
将A、B、C
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