中考数学压轴题集训Word下载.doc
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如图,过点D作DN⊥x轴于N,则DN=,AN=3,∴AD==6.
∴∠DAO=60°
4分
∵OM∥AD
①当AD=OP时,四边形DAOP为平行四边形.
∴OP=6
∴t=6(s)·
5分
②当DP⊥OM时,四边形DAOP为直角梯形.
过点O作OE⊥AD轴于E.
在Rt△AOE中,∵AO=2,∠EAO=60°
,∴AE=1.
(注:
也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE=1)
∵四边形DEOP为矩形,∴OP=DE=6-1=5.
∴t=5(s)·
6分
③当PD=OA时,四边形DAOP为等腰梯形,此时OP=AD-2AE=6-2=4.
∴t=4(s)
综上所述,当t=6s、5s、4s时,四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形.
7分
(3)∵∠DAO=60°
,OM∥AD,∴∠COB=60°
.
又∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴OB=OC=AD=6.
∵BQ=2t,∴OQ=6-2t(0<t<3)
过点P作PF⊥x轴于F,
则PF=t.·
8分
∴S四边形BCPQ=S△COB-S△POQ
=×
6×
-×
(6-2t)×
t
=(t-)2+·
9分
∴当t=(s)时,S四边形BCPQ的最小值为.·
10分
此时OQ=6-2t=6-2×
=3,OP=,OF=,∴QF=3-=,PF=.
∴PQ===·
12分
二.几何图形与变换
2.(辽宁省铁岭市)如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,
垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°
,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?
若存在,直接写出t的值;
若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0),将A.B点坐标代入得出:
,
解得:
故经过O、A、B三点的抛物线解析式为:
y=-x2+x.
(2)①当0<t≤2时,重叠部分为△OPQ,过点A作AD⊥x轴于点D,
如图1.
在Rt△AOD中,AD=OD=1,∠AOD=45°
在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°
∴OQ=PQ=t.
∴S=S△OPQ=OQ•PQ=×
t×
t=t2(0<t≤2);
②当2<t≤3时,设PQ交AB于点E,重叠部分为梯形AOPE,
作EF⊥x轴于点F,如图2.∵∠OPQ=∠QOP=45°
∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2.
∴S=S梯形AOPE=(AE+OP)•AD=(t-2+t)×
1=t-1(2<t≤3);
③当3<t<4时,设PQ交AB于点E,交BC于点F,
重叠部分为五边形AOCFE,如图3.
∵B(3,1),OP=t,∴PC=CF=t-3.
∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形
∴BE=BF=1-(t-3)=4-t
∴S=S五边形AOCFE=S梯形OABC-S△BEF=(2+3)×
1-(4-t)2=-t2+4t-(3<t<4);
(4)存在,t1=1,t2=2.
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°
,此时Q(t+,),O(t,t)
①当点Q在抛物线上时,=-×
(t+)2+×
(t+),
解得t=2;
②当点O在抛物线上时,t=-t2+t,
t=1.
三.相似
3.(四川省遂宁市)如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
(1)设二次函数的解析式为:
y=a(x-h)2+k
∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)
∴y=a(x-4)2+k,=16a+k①
又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6
∴A(1,0),B(7,0)
∴0=9a+k②
由①②解得a=,k=-
∴二次函数的解析式为:
y=(x-4)2-
(2)∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD,
∴∠BPM=∠BDO,
又∵∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴点P的坐标为(4,)
(3)由
(1)知点C(4,),
又∵AM=3,
∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,
∴∠ACM=60°
∵AC=BC,
∴∠ACB=120°
①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有
BQ=6,∠ABQ=120°
,则∠QBN=60°
∴QN=3,BN=3,ON=10,
此时点Q(10,),
如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)
②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,
此时点Q的坐标是(4,),
经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上
综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).
四.等腰,直角三角形
4.(广东省湛江市)已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系;
点P是OA边上的动点(与点OA不重合),现将△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE、PF重合.
(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;
(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?
(3)在
(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?
若不存在,说明理由;
若存在,求出点Q的坐标.
(1)由题意知,△POC,△PAD均为等腰直角三角形,可得P(3,0),C(0,3),D(4,1),
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c(a≠0),
则,
∴,
∴过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y=x2-x+3.
(2)由已知PC平分∠OPE,PD平分∠APF,且PE、PF重合,则∠CPD=90°
∴∠OPC+∠APD=90°
,又∠APD+∠ADP=90°
∴∠OPC=∠ADP.
∴Rt△POC∽Rt△DAP.
∴即
∵y=x(4-x)
=-x2+x
=-(x-2)2+(0<x<4)
∴当x=2时,y有最大值.
(3)假设存在,分两种情况讨论:
①当∠DPQ=90°
时,由题意可知∠DPC=90°
,且点C在抛物线上,
故点C与点Q重合,所求的点Q为(0,3)
②当∠QDP=90°
时,过点D作平行于PC的直线DQ,假设直线DQ交抛物线于另-点Q,
∵点P(3,0),C(0,3),
∴直线PC的方程为y=-x+3,将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合,
∴直线DQ的方程为y=-x+5.
由,
得或.
又点D(4,1),∴Q(-1,6),故该抛物线上存在两点Q(0,3),(-1,6)满足条件.
5.(广东省深圳市)已知:
Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).
(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.
(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.
②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?
若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;
若没有,请说明理由.
(1)设OA的长为x,则OB=5-x;
∵OC=2,AB=5,∠BOC=∠AOC=90°
,∠OAC=∠OCB;
∴△AOC∽△COB,∴OC2=OA•OB
∴22=x(5-x)…(1分)
x1=1,x2=4,
∵OA<OB,∴OA=1,OB=4;
…(2分)
∴点A、B、C的坐标分别是:
A(-1,0),B(4,0),C(0,2);
直接用射影定理的,不扣分)
方法一:
设经过点A、B、C的抛物线的关系式为:
y=ax2+bx+2,
将A、B、C三点的坐标代入得…(3分)
a=,b=,c=2
所以这个二次函数的表达式为:
…(4分)
方法二:
设过点A、B、C的抛物线的关系式为:
y=a(x+1)(x-4)…(3分)
将C点的坐标代入得:
a=
表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
(2)①当△BDE是等腰三角形时,点E的坐标分别是:
,,.
…1+1+(1分)
符合条件的E点共有三个,其坐标,写对一个给1分)
②如图1,连接OP,
S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD…(8分)
==m+n-2
==…(9分)
∴当m=时,△CDP的面积最大.此时P点的坐标为(,),
S△CDP的最大值是.
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