《数学分析》课程标准Word格式.docx

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课程名称

数学分析

课程代码

适用专业

数学教育

总学时

276

课程性质

□核心课程、□通识课程、□拓展课程、□其他

学分

14

课程地位

课程适用专业（职业岗位与技术领域）描述；

本课程在本专业课程体系中的地位；

学习者在学习本课程之前应具备的前续知识与技能，及与后续课程的关系

数学分析课是高校数学类专业的一门最重要的基础课，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。

数学分析不仅为各学科提供各种计算工具及方法，同时因其课程特点，贯穿高度抽象的方法、高度严密的推理、高度系统的结构，致力于培养学生科学严谨的思考习惯与认真细致的工作作风，其重要作用和对学生产生的影响是其他课程难以替代的。

其教学内容极为丰富，是连接初等数学与高等数学的桥梁，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数、泛函分析以及数值分析等后继课程的基础。

课程的目标是通过三个学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

同时，培养学生良好的学习习惯，提高自我选择知识、吸取知识、创造知识的能力，为学生应用数学的理论和方法解决实际问题提供基本的数学素质。

课程学习目标

根据课程教学要求中明确要掌握的技能、知识（原理和方法），以及态度要求，确定学习目标；

学习目标包括个人学习目标、团队学习目标。

学习该课程的目标：

1．使学生理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。

2．通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识，为进一步学习《复变函数论》、《微分方程》、《概率论》、《实数函数与泛函分析》等后继课程奠定基础。

3．该课程是数学各专业硕士研究生入学考试中两门专业基础课程之一，在数学

（一）、数学

（二）、数学（三）、数学（四）及MBA数学考试中也占有相当的比重。

课程学习形式

学习形式可以是课堂、实验室、校内或校外实训现场、社会调研或服务；

自学、小组学习、网络学习、；

或综合性学习形式。

为保证学生顺利实施和完成项目教学任务，本课程在理实一体化教室（专门的实训教室）完成教学过程，学生学习以教学互动学习、小组学习和网络学习等多种方式相结合的形式开展。

1.对相近多专业使用本课程的，应分别予以描述。

2.对于有项目教学模块的课程填写本表；

对于以项目教学为主体的课程另填。

二、课程内容和学时分配

序号

单元名称

主要教学知识点

学习目标及能力要求

学习情境

学时

作业

1

预备知识和函数

实数集的性质、函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数

（1）理解实数的有序性、稠密性与封闭型；

（2）理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数和偶函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；

（3）牢记基本初等函数的定义、性质及其图像。

会求初等函数的定义域、值域，会分析初等函数的复合关系。

掌握几个特殊函数的表示方法。

1.实数概述

2.函数概念

3.几种特殊类型的函数

4.函数的运算

5.初等函数

8

P35

ex12,13

P47

Ex2,3,4,14

P55

Ex5,9,10

2

极限

数列极限的概念、性质与四则运算，数列收敛性的判别法，无穷大量的定义、性质和运算。

函数极限的概念、基本性质，海涅定理；

无穷小（大）量及其阶的概念。

区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理

（1）掌握数列极限的定义及相关概念；

（2）理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；

（3）掌握并会应用收敛数列的四则运算定理、夹逼定理以及单调有界定理；

（4）理解函数极限“”的定义，能运用定义证明与函数极限有关的某些命题；

（5）掌握函数极限的基本性质；

（6）掌握海涅定理，领会其实质以及证明的基本思路；

（7）掌握两个重要极限；

（8）掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

（9）理解上、下确界的含义；

（10）理解区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理；

1.数列极限的概念；

2.收敛数列的性质及运算；

3.数列极限的存在条件；

4.无穷小量与无穷大量

20

P76

Ex6,8,9

P92

Ex7,9,11,

12

P106

Ex3,5,7

P118

Ex3,6,8,

9,11

P126

Ex4,5,10

P139

Ex3,4,6,7,

3

连续函数

掌握连续函数的定义，理解一致连续的概念，掌握闭区间上连续函数的性质及零点定理的应用；

1）理解间断点的概念，识别不同类型的间断点；

（2）熟知复合函数的连续性和反函数的连续性；

（3）掌握闭区间上连续函数的性质和运用；

（4）理解一致连续的概念；

1.函数极限的概念，单侧极限的概念；

2.函数极限的性质与运算，两个重要极限归结原则，柯西准则。

P152

Ex2,3,4,

8,9,10

P165

5,10,11

4

导数与微分

导数的概念，导数的几何意义，求导法则，微分的概念，高阶导数，高阶微分。

（1）理解导数概念，明确其实际背景并给出物理、几何解析，明确可导与连续的关系；

（2）掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，会求由参数方程所给出的函数的导数及反函数的导数；

（3）理解函数在一点的微分的定义，可导与可微的一致性，能熟练求初等函数的微分；

（4）掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。

1.导数概念，导数的几何意义；

2.求导法则与导数公式；

3.微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；

4.高阶导数与高阶微分。

16

P180

Ex3,4,7,

9

P207

Ex1,2,5,

6,9,11

P219

Ex2,4,5

5

微分学中值定理

三个中值定理，泰勒公式。

（1）理解中值定理及几何意义，掌握三个中值定理的证明方法，能应用中值定理证明某些有关的命题；

（2）掌握常用初等函数的泰勒公式，会进行近似计算并估计误差；

1.洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗必达法则；

2.泰勒公式，某些函数的泰勒展开式，近似计算；

10

P229

Ex2,3,6

7,8,9

P240

Ex2,3,4,5

6

导数的应用

罗比塔法则，，函数的升降、凸性与极值，平面曲线的曲率。

（1）掌握函数的升降、凸性与极值的判定方法，求解函数作图及实际应用问题；

（2）熟练应用罗比塔法则计算极限。

1.函数特性讨论单调性、极值与最值、凹凸性拐点、渐近线；

2.函数图象的讨论与描绘。

P250

Ex2,3

P276

Ex2,4,5,

10,12

7

不定积分

不定积分的概念与运算法则，不定积分换元法和分部积分法，求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。

（1）理解并掌握原函数与不定积分的关系及其几何意义；

（2）掌握不定积分的线性运算法则，能熟练运用基本积分表中的公式；

（3）熟练掌握换元积分法，分部积分法并能解决求积问题；

（4）掌握特殊类型的初等函数的积分。

如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理函数的积分。

1.原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则；

2.换元积分法，分部积分法；

3.有理函数积分法，三角函数有理式积分，几种无理函数的积分。

18

P284

Ex2

P294

Ex1,2,3

P304

P314

定积分

定积分的概念、性质，微积分基本定理，换元积分法和分部积分法

（1）理解定积分的概念及定积分存在的充要条件。

（2）掌握可积函数类。

（3）掌握定积分的第一中值定理及牛顿－莱布尼兹公式。

（4）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

1.定积分的概念，函数可积的必要条件，可积函数类；

2.定积分的性质，积分中值定理；

3.微积分基本定理，可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

4.积分法：

换元积分法分部主积分法。

P9

Ex9

P21

5,6,7

P31

Ex1,2,3,

6,8

P45

5,8

定积分应用

求面积，体积，弧长，曲率，压力，功及重心。

（1）掌握定积分的几何应用---平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面已知的立体体积；

（2）物理应用---质量、功、引力、压力。

1.定积分的几何应用：

平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，旋转体的侧面积；

2.定积分在物理上的应用：

功、液体压力、重心、平均值。

P64

Ex1,2,5,6

数值级数

上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。

（1）理解上极限与下极限的概念及其性质，会求上、下极限；

（2）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；

（3）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；

（4）理解Leibniz级数，熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

1.数项级数的收敛性：

无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

2.正项级数收敛原理：

比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法；

3.任意项级数：

交错级数与莱布尼兹判别法，条件收敛，绝对收敛定理。

P93

8,10

P108

8,9

P120

Ex2,3,4,6

7,8

11

函数级数

函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性；

幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的幂级数展开

（1）理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；

（2）掌握并应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法；

（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性；

（4）