初中几何证明题绝对经典Word文档下载推荐.docx
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EF=BE+FD;
图1图2图3
(2)如图2在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°
,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
不用证明.
(3)如图25-3在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°
,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;
若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
5.以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置及数量关系.
(1)如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<
<
90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
6.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内,E是边OB上的动点(不包括端点),作∠AEF=90︒,使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m,n).
(1)若m=n时,如图,求证:
EF=AE;
(2)若m≠n时,如图,试问边OB上是否还存在点E,使得EF=AE?
若存在,请求出点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)若m=tn(t>1)时,试探究点E在边OB的何处时,使得EF=(t+1)AE成立?
并求出点E的坐标.
7.如图1,已知∠ABC=90°
,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°
得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F.
(1)如图2,当BP=BA时,∠EBF= ▲ °
,猜想∠QFC=▲°
;
(2)如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜想∠QFC的度数,并加以证明;
(3)已知线段AB=,设BP=,点Q到射线BC的距离为y,求y关于的函数关系式.
8.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;
动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形?
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?
若存在,求出此时t的值;
若不存在,请说明理由;
(4)探究:
t为何值时,△PMC为等腰三角形?
9.如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是________________;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k·
AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:
AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
1、解:
(1)等腰直角
(2)等腰
(3)结论仍然成立
证明:
在
∴△ABF≌△EBC.
∴AF=CE.∠AFB=∠ECB
∵M,N分别是AF、CE的中点,
∴FM=CN.
∴△MFB≌△NCB.
∴BM=BN.∠MBF=∠NBC
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=
2、解:
(1)PQ=PB
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N
在正方形ABCD中,AC为对角线
∴AM=PM
又∵AB=MN
∴MB=PN
∵∠BPQ=900
∴∠BPM+∠NPQ=900
又∵∠MBP+∠BPM=900
∴∠MBP=∠NPQ
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,
∴PB=PQ
(2)∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ
∵AP=x
∴AM=x
∴CQ=CD-2NQ=1-x
又∵S△PBC=BC·
BM=·
1·
(1-x)=-x
S△PCQ=CQ·
PN=(1-x)·
(1-x)
=-+
∴S四边形PBCQ=-x+1.(0≤x≤)
(3)△PCQ可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时,点Q与点D重合,
PQ=QC,此时,x=0.
②当点Q在DC的延长线上,且CP=CQ时,
有:
QN=AM=PM=,CP=-x,
CN==1-
CQ=QN-CN=-(1-)
=x-1
∴当-x=-1时,x=1
3、解:
(1)如图1,延长至,使.
可证明是等边三角形.
联结,可证明≌.
故.
(2)如图2,在四边形外侧作正三角形,
可证明≌,得.
∵四边形符合
(1)中条件,
∴.
联结,
ⅰ)若满足题中条件的点在上,
则.
∴.
∴.
ⅱ)若满足题中条件的点不在上,
∵,
∴.综上,.
4、答案
(1)证明:
延长EB到G,使BG=DF,联结AG.
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°
AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG.
∴EF=BE+FD
(2)
(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.
(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE-FD.
证明:
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°
∠ADF+∠ADC=180°
,
∴∠B=∠ADF.
∵AB=AD,
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=∠BAD.
∵AE=AE,
∴EG=EF
∵EG=BE-BG
∴EF=BE-FD.
5、答案:
解:
(1),
(2)结论仍然成立。
如图,延长CA至F,使FA=AC,FA交DE于点P,并连结.
,
.
在与中:
(SAS).
BF=DE,.
.
.
又CA=AF,CM=MB,AM//FB且AM=FB
AM=DE.
6、答案:
(1)由题意得m=n时,AOBC是正方形.
如图,在OA上取点C,使AG=BE,则OG=OE.
∴∠EGO=45︒,从而∠AGE=135︒.
由BF是外角平分线,得∠EBF=135︒,∴∠AGE=∠EBF.
∵∠AEF=90︒,∴∠FEB+∠AEO=90︒.
在Rt△AEO中,∵∠EAO+∠AEO=90︒,
∴∠EAO=∠FEB,∴△AGE≌△EBF,EF=AE.
(2)假设存在点E,使EF=AE.设E(a,0).作FH⊥x轴于H,如图.
由
(1)知∠EAO=∠FEH,于是Rt△AOE≌Rt△EHF.
∴FH=OE,EH=OA.
∴点F的纵坐标为a,即FH=a.
由BF是外角平分线,知∠FBH=45︒,∴BH=FH=a.
又由C(m,n)有OB=m,∴BE=OB-OE=m-a,
∴EH=m-a+a=m.
又EH=OA=n,∴m=n,这与已知m≠n相矛盾.
因此在边OB上不存在点E,使EF=AE成立.
(3)如
(2)图,设E(a,0),FH=h,则EH=OH-OE=h+m-a.
H
x
O
E
B
A
y
C
F
由∠AEF=90︒,∠EAO=∠FEH,得△AOE∽△EHF,
∴EF=(t+1)AE等价于FH=(t+1)OE,即h=(t+1)a,
且,即,
整理得nh=ah+am-a2,∴.
把h=(t+1)a代入得,
即m-a=(t+1)(n-a).
而m=tn,因此tn-a=(t+1)(n-a).
化简得ta=n,解得.
∵t>1,∴<n<m,故E在OB边上.
∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件,此时E(,0).
7、答案:
(1)30°
.=60°
(2)=60°
不妨设BP>,如图1所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°
+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°
+∠EAP
∴∠BAP=∠EAQ.
在△ABP和△AEQ中AB=AE,∠BAP=∠EAQ,AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ(SAS)
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF
∴=60°
(事实上当BP≤时,如图2情形,不失一般性结论仍然成立,不分类讨论不扣分)
(3)在图1中,过点F作FG⊥BE于点G
∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=,由
(1)得30°
在Rt△BGF中,∴BF=∴EF=2
∵△ABP≌△AEQ∴QE=BP=∴QF=QE+EF
过点Q作QH⊥BC,垂足为H
在Rt△QHF中,(x>0)
即y关于x的函数关系式是:
.
8、答案:
(1)在直角梯形ABCD中,
∵QN⊥AD,∠ABC=90°
,∴四边形ABNQ是矩形。
∵QD=t,AD=3,∴BN=AQ=3-t,∴NC=BC-BN=4-(3-t
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