完整版椭圆大题中的向量问题基础篇Word下载.docx
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x1x2
x1t,kx1mx2t,kx2m
x1x2
f1k,m
22mt
,x1x2
f2k,m;
y
b2
kx
2
x
x2
x2,
uuur
PB
m
a2y2a2b2
2kma,
222,
akb
x1x2代入①式中,
得a2k2
am
a2k2
222222
b2x22kma2xa2m2b20,
2,
得到PAPBgk,m
PA
PB转化为含k,m的式子
2222
2amb2kma2k1222kmt222a2k2b2a2k2b2
m2
t2
写出向量的坐标(末初),并将PAPB表示成fx1x2,x1x2的形式
2222222
t2a2b2m2a2b2k212kmta2
t222222
akbakb
其中I、II两步可以互换顺序
uuuruuur2
同理,若点P0,t,则PAPBt2
2222222abmabk12mtb2
222222uuuruuurabmabk1特殊情况:
当P为原点O时,OAOB222a2k2b2
基础练习:
请按照以下条件作答
y1交于A、B两点,
2x1.已知斜率为k的直线l经过点1,0与椭圆
1)若点O为原点,请写出OAOB关于斜率k的关系式;
2)已知点P2,0,请写出PA
PB关于斜率
k的关系式;
0),
2.若斜率为k的直线l经过点0,2与椭圆xy1交于A、B两点(注意32
(1)若点O为原点,请写出uOuAurOuuBur关于斜率k的关系式;
(2)若点P1,0,请写出PAPB关于斜率k的关系式;
3)若点P2,0,请写出PAPB关于斜率k的关系式;
1.1求向量数量积的问题
C:
x2y2
43uuurPB关于直线
给出点P的坐标)
例1:
已知椭圆
1,直线l经过C的右焦点
F与椭圆交于
A、B两点,点
P3,0
1)
uuur写出PA
l的斜率k的关系式;
7k215
4k23
若
22,
,
求直线l的方程;
(yx
7
求
OA
OB
PAPB的值;
(
k22,
PB的
取值
范围
;
(PAPB
7,5)
4
24
AP
≤24,
求PAPB的取
值范围;
记
D、
E分别为椭
圆
C的左右顶点,
90
l的方程;
AD
EB
AE
DB
90,求直线
的取值范围.(
ADEB
2)
3)
5)
6)
①.
29)
11
k2≥
5,22)
)
47
21,16
练习1.1
2x1.已知椭圆
y21的离心率e3,若直线l
ykx2与椭圆恒有两个不同的交
点A、B且OAOB2,求k的取值范围.
过点F且斜率为k
AD·
CB8,求k的值.
2.已知椭圆x3y21的左焦点为F,设A、B分别为椭圆的左右顶点,
uuuruuur的直线与椭圆交于C、D两点.,若AC·
1.2动点分析问题(直线l过椭圆顶点的问题)
以l经过椭圆x2y21ab0的左顶点Aa,0为例.a2b2
设l:
ykxa且l过点A与椭圆交于点Bx2,y2,
联立y2
kxa
22222
xayab0
得
222akb
24422kaxak
ab0,
4222
32
a4k2a2b2,
ab2
a3k2
,2ab2
k,
∴x1x2
ax2222,
x222
,y222
a2k2b2
即点B
ab2a3k2,2ab2ka2k2b2,a2k2b2
动点分析问题的过程如下:
I.分析问题中涉及的动点;
II.按难易程度,通过联立的方法用直线斜率k表示出问题中所涉及的动点坐标;
III.按照目标向量所涉及的点,将向量坐标运用直线斜率k表示出来;
IV.将向量的数量积运用含k的式子表示出来.
例2:
如图,椭圆E:
xy21,记A、B为椭圆的左右顶点,点C为椭圆的上顶点,直
线l经过点C与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与BD相交于点
k1,0
8k
、D
14k2
4k214k
k
Q.当点P异于点B时.
1)记k为直线l的斜率,用k表示点P、D的坐标;
(P
2)用k表示出lBD的斜率;
(kBD2k1)
BD4k2
3)用k表示出点Q的坐标;
(Q4k,2k1)
uuuruuuruuuruuuruuur
4)用k表示出OP、OQ的坐标,并求OPOQ.(OP
OPOQ4)
练习1.2:
1.已知椭圆C:
y21,若F为椭圆C的右焦点,经过椭圆的上顶点B的直线l与椭圆
另一个交点为A,且满足uBuAuruBuFur=2
(1)用直线l的斜率k表示点A的坐标;
(2)用含k的式子表示uBuAur的坐标,同时表示出uBuFur的坐标;
(3)用含k的式子表示BABF,构建方程fk2;
4)解出k的值,写出直线l的方程.
2.已知椭圆xy21若C、D分别是椭圆长轴的左右端点,动点M满足MDCD,连接2
uuuuruuur
CM交椭圆于点P,证明:
OMOP为定值.
(1)记直线lCM的斜率为k,用含k的式子表示出点M的坐标;
(2)用含k的式子表示出点P的坐标;
uuuruuuur
(3)用含k的式子分别表示出OP、OM的坐标;
4)证明OMOP为定值.
3.已知椭圆y21,点A2,0,设直线l过点A与椭圆交于另一点B,点Q(0,y0)在
线段AB的垂直平分线上,且QAQB4,求y0的值.
(1)设直线l的斜率为k,用含k的式子表示点B的坐标;
(2)用含k的式子表示出AB的中点坐标,并写出AB的中垂线方程;
(3)用含k的式子表示出点Q的坐标;
(4)用含k的式子分别表示出QA,QB;
5)运用QuuAuruQuBurfk4,求直线l的方程,并求出点Q的坐标.
2.数量积问题的延伸——垂直问题和角度判断问题
2.1直线的垂直问题,可以转换为向量的数量积为零的问题.
22xy
记点Pt,0是x轴上的一点,Ax1,y1、Bx2,y2是直线l:
ykxm和椭圆1ab0的两个交点,由之前的讨论可知,
uPuBurt2a2b2m2a2b2k212kmta2,
PBt222222,a2k2b2a2k2b2
例3:
如图,记A为椭圆
2a
y21ab0的上顶点,b
为椭圆的两焦点,
B1、
B2分别为OF1、OF2的中点,
F1、F2
QB2,求直线l的方程.
若PAPB,则PAPB0.
△AB1B2是面积为4的直角三角形.
1)求椭圆的标准方程和离心率;
2)过点B1作直线l与椭圆相交于P、Q两点,若PB2
练习2.1
1.已知椭圆C:
y21,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,若过点F2的直线l与椭圆C
2122
相交于P、Q两点,且F1PF1Q,求直线l的方程.
2.已知椭圆G:
xy21,短轴上、下顶点分别为A、B,若C、D是椭圆G上关于y轴2
对称的两个不同点,直线BC与x轴交于点M,判断以线段MD为直径的圆是否过点A,并说明理由.
2x3.如图,已知椭圆
y1,设点P、Q分别是椭圆和圆O上
位于y轴两侧的动点,若直线PQ与x轴平行,直线AP、BP
与y轴的交点记为M、N,试证明MQN为直角.
2.2角度问题
判断角度为钝角、
直角还是锐角,
以及点与圆的位置关系
①.若APB90o,
则cosAPB
0,
点P在以AB为直径的圆外
②.若APB90o,则cosAPB
点P在以A
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