数列综合练习题及答案Word下载.docx
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当时由(Ⅰ)知,此时,,成等差数列;
当时,若存在N*,使得,,成等差数列,则2=+
∴,由(Ⅰ)知数列的公比,于是对于任意的N*,且,
;
所以2=+即,,成等差数列;
综上:
对于任意的,且,,,成等差数列。
例3、已知两个等比数列,,满足,,,.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若数列唯一,求的值.
【解析】
(1)设的公比为,则,,
,由,,成等比数列得,
即,解得,
所以的通项公式或.
(2)设的公比为,则由,得
由得,故方程(*)有两个不同的实根.
由唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得.
例4、等比数列的各项均为正数,且
(Ⅱ)设求数列的前n项和.
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以。
由条件可知a>
0,故。
由得,所以。
故数列{an}的通项式为an=。
(Ⅱ
)=
故
所以数列的前n项和为
例5、已知数列和的通项公式分别为,(.将集合中的元素从小到大依次排列,构成数列
(1)写出;
(2)求证:
在数列中,但不在数列中的项恰为;
(3)求数列的通项公式.
⑴;
⑵①任意,设,则,即
②假设(矛盾),∴
∴在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶,
,,
∵
∴当时,依次有,……
∴
例6、已知数列满足:
且()
(Ⅰ)求证:
数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明:
()。
(Ⅰ)由题得:
an+1(an+n)=2(n+1)an,即
故即数列为等比数列,……3分
,……7分
(Ⅱ)由上知……………………………………8分
。
例7、已知公差不为0的等差数列的首项为,且,,成等比数列.
(Ⅱ)对,试比较与的大小.
(Ⅰ)解:
设等差数列的公差为,由题意可知
即,从而
因为故通项公式
(Ⅱ)解:
记
所以
从而,当时,;
当
例8、在各项均为负数的数列{an}中,已知点(an,an+1)(n∈N*)在函数y=x的图象上,且a2·
a5=.
(1)求证:
数列{an}是等比数列,并求出其通项;
(2)若数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=an+n,求Sn.
[解析]
(1)因为点(an,an+1)(n∈N*)在函数y=x的图象上,
所以an+1=an,即=,故数列{an}是公比q=的等比数列,
因为a2a5=,则a1q·
a1q4=,即a5=3,由于数列{an}的各项均为负数,则a1=-,
所以an=-n-2.
(2)由
(1)知,an=-n-2,bn=-n-2+n,所以Sn=3·
n-1+.
例9、(2011·
黑龙江)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,….
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项.
[解析]
(1)由已知an+1=a+2an,∴an+1+1=(an+1)2.∵a1=2,∴an+1>
1,两边取对数得:
lg(1+an+1)=2lg(1+an),即=2.∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)由
(1)知lg(1+an)=2n-1·
lg(1+a1)=2n-1·
lg3=lg32n-1∴1+an=32n-1(*)
∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=320·
321·
…·
32n-1=31+2+22+…+2n-1=32n-1.
由(*)式得an=32n-1-1.
例10、2011·
湖南长沙一中月考)已知f(x)=mx(m为常数,m>
0且m≠1).设f(a1),f(a2),…,f(an)…(n∈N)是首项为m2,公比为m的等比数列.
数列{an}是等差数列;
(2)若bn=anf(an),且数列{bn}的前n项和为Sn,当m=2时,求Sn;
(3)若cn=f(an)lgf(an),问是否存在正实数m,使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项?
若存在,求出m的取值范围;
若不存在,请说明理由.
[解析]
(1)由题意f(an)=m2·
mn-1,即man=mn+1.
∴an=n+1,∴an+1-an=1,∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列.
(2)由题意bn=anf(an)=(n+1)·
mn+1,
当m=2时,bn=(n+1)·
2n+1,∴Sn=2·
22+3·
23+4·
24+…+(n+1)·
2n+1①
①式两端同乘以2得,2Sn=2·
23+3·
24+4·
25+…+n·
2n+1+(n+1)·
2n+2②
②-①并整理得,
Sn=-2·
22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)·
2n+2=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)·
2n+2
=-4-+(n+1)·
2n+2=-4+22(1-2n)+(n+1)·
2n+2=2n+2·
n.
(3)由题意cn=f(an)·
lgf(an)=mn+1·
lgmn+1=(n+1)·
mn+1·
lgm,
要使cn<
cn+1对一切n∈N*成立,即(n+1)·
lgm<
(n+2)·
mn+2·
lgm,对一切n∈N*成立,
①当m>
1时,lgm>
0,所以n+1<
m(n+2)对一切n∈N*恒成立;
②当0<
m<
1时,lgm<
0,所以>
m对一切n∈N*成立,因为=1-的最小值为,所以0<
.
综上,当0<
或m>
1时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.
例11、数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:
an=+++…+,求数列{bn}的通项公式;
[解析]
(1)当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知a1=2满足该式
∴数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)an=+++…+(n≥1)①
∴an+1=+++…++②
②-①得,=an+1-an=2,bn+1=2(3n+1+1),
故bn=2(3n+1)(n∈N).
(3)cn==n(3n+1)=n·
3n+n,
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×
3+2×
32+3×
33+…+n×
3n)+(1+2+…+n)
令Hn=1×
3n,①
则3Hn=1×
32+2×
33+3×
34+…+n×
3n+1②
①-②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n×
3n+1=-n×
3n+1
∴Hn=,
∴数列{cn}的前n项和
Tn=+.
3)令cn=(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.
综合练习
一、选择题
1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )
A.40 B.42 C.43 D.45
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差是( )
A. B.1 C.2 D.3
3.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是( )
A.-5B.-C.5D.
4.已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公式q≠1,若a1=b1,a11=b11,则( )
A.a6=b6B.a6>
b6
C.a6<
b6D.以上都有可能
5.已知a>
0,b>
0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是( )
A.ab=AGB.ab≥AG
C.ab≤AGD.不能确定
6.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为( )
A.B.C.D.或
7.已知数列{an}满足a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),则该数列前2011项的和等于( )
A.1341B.669C.1340D.1339
8.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为( )
A.B.4C.2D.
9.已知数列{an}为等差数列,若<
-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>
0的最大值n为( )
A.11B.19C.20D.21
10.在等差数列{an}中,其前n项和是Sn,若S15>
0,S16<
0,则在,,…,中最大的是( )
A.B.C.D.
11.将n2(n≥3)个正整数1,2,3,…,n2填入n×
n方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线上数的和,如右表就是一个3阶幻方,可知f(3)=15,则f(n)=( )
8
1
6
3
5
7
4
9
2
A.n(n2+1)B.n2(n+1)-3
C.n2(n2+1)D.n(n2+1)
12.若数列{an}满足:
an+1=1-且a1=2,则a2011等于( )
A.1B.-C.2D.
13.数列{an}是等差数列,公差d≠0,且a2046+a1978-a=0,{bn}是等比数列,且b2012=a2012,则b2010·
b2014=( )
A.0B.1C.4D.8
14.设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则ab1+ab2+…+ab10=( )
A.1033B.1034C.2057D.2058
15.在圆x2+y2=10x内,过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{an}的首项a1,最长弦长为an,若公差d∈,那么n的取值集合为( )
A.{4,5,6}B.{6,7,8,9}
C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}
16.在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N*,a为常数),若平面上的三个不共线的非零向量,,满足=a1+a2010,三点A、B、C共线且该直线不过O点,则S2010等于( )
A.1005B.1006C.2010D.2012
二、填空题
1.已知1,x1,x2,7成等差数列,1,y1,y2,8成等比数列,点M(x1,y1),N(x2,y2),则线段MN的中垂线方程是________.
2.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,若以(an,Sn)为坐标的点在曲线y=x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________.
3.已知α∈∪,且sinα,sin2α,sin4α成等比数列,则α的值为________.
4.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an},已知a1=1,a2=2,且an
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