二次函数压轴(矩形)文档格式.doc
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2.(2015成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:
y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?
若能,求出点P的坐标;
若不能,请说明理由.
x
y
O
A
B
D
l
C
备用图
E
3.(2013•衡阳)如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=﹣1.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.
①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;
②△AON能否为等腰三角形?
若能,求出t的值;
解:
(1)根据题意,设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)2+k,
∵点A(1,0),B(0,3)在抛物线上,∴,解得:
a=﹣1,k=4,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣(x+1)2+4.
(2)①∵四边形OMPQ为矩形,∴OM=PQ,即3t=﹣(t+1)2+4,整理得:
t2+5t﹣3=0,
解得t=,由于t=<0,故舍去,
∴当t=秒时,四边形OMPQ为矩形;
②Rt△AOB中,OA=1,OB=3,∴tanA=3.若△AON为等腰三角形,有三种情况:
(I)若ON=AN,如答图1所示:
过点N作ND⊥OA于点D,则D为OA中点,OD=OA=,∴t=;
(II)若ON=OA,如答图2所示:
过点N作ND⊥OA于点D,设AD=x,则ND=AD•tanA=3x,OD=OA﹣AD=1﹣x,
在Rt△NOD中,由勾股定理得:
OD2+ND2=ON2,
即(1﹣x)2+(3x)2=12,解得x1=,x2=0(舍去),∴x=,OD=1﹣x=,∴t=;
(III)若OA=AN,如答图3所示:
过点N作ND⊥OA于点D,设AD=x,则ND=AD•tanA=3x,
在Rt△AND中,由勾股定理得:
ND2+AD2=AN2,
即(x)2+(3x)2=12,解得x1=,x2=﹣(舍去),∴OD=1﹣x=1﹣,∴t=1﹣.综上所述,当t为秒、秒,(1﹣)秒时,△AON为等腰三角形.
4.(2013•常德)如图,已知二次函数的图象过点A(0,﹣3),B(,),对称轴为直线x=﹣,点P是抛物线上的一动点,过点P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,在四边形PMON上分别截取PC=MP,MD=OM,OE=ON,NF=NP.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求证:
以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;
(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?
若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)解:
设抛物线的解析式为:
y=a(x+)2+k,
∵点A(0,﹣3),B(,)在抛物线上,∴,解得:
a=1,k=.∴抛物线的解析式为:
y=(x+)2=x2+x﹣3.
(2)证明:
如右图,连接CD、DE、EF、FC.∵PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,
∴四边形PMON为矩形,∴PM=ON,PN=OM.∵PC=MP,OE=ON,∴PC=OE;
∵MD=OM,NF=NP,∴MD=NF,∴PF=OD.在△PCF与△OED中,
∴△PCF≌△OED(SAS),∴CF=DE.
同理可证:
△CDM≌△FEN,∴CD=EF.
∵CF=DE,CD=EF,∴四边形CDEF是平行四边形.
(3)解:
假设存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形.
设矩形PMON的边长PM=ON=m,PN=OM=n,则PC=m,MC=m,MD=n,PF=n.
若四边形CDEF为矩形,则∠DCF=90°
,易证△PCF∽△MDC,
∴,即,化简得:
m2=n2,∴m=n,即矩形PMON为正方形.
∴点P为抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点.
联立,解得,,∴P1(,),P2(﹣,﹣);
联立,解得,,∴P3(﹣3,3),P4(﹣1,1).∴抛物线上存在点P,使四边形CDEF为矩形.这样的点有四个,在四个坐标象限内各一个,其坐标分别为:
P1(,),P2(﹣,﹣),P3(﹣3,3),P4(﹣1,1).
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