最新高考高考数学复习圆锥曲线 精品Word格式.docx
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点集:
{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
圆的方程
(1)标准方程
圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是
x2+y2=r2
(2)一般方程
当D2+E2-4F>0时,一元二次方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
叫做圆的一般方程,圆心为(-,-,半径是.配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为
(x+)2+(y+)2=
当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点
(-,-);
当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则
|MC|<r点M在圆C内,
|MC|=r点M在圆C上,
|MC|>r点M在圆C内,
其中|MC|=.
(3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系
直线与圆相交有两个公共点
直线与圆相切有一个公共点
直线与圆相离没有公共点
②直线和圆的位置关系的判定
(i)判别式法
(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.
3.椭圆、双曲线和抛物线
椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.
椭圆
双曲线
抛物线
轨迹条件
({M||MF1+|MF2|=2a,|F1F2|<2a=
{M||MF1|-|MF2|.
=±
2a,|F2F2|>2a}.
点集{M||MF|=点M到直线l的距离}.
圆形
标准方程
+=1(a>b>0)
-=1(a>0,b>0)
y2=2px(p>0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0);
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
O(0,0)
轴
对称轴x=0,y=0
长轴长:
2a
短轴长:
2b
实轴长:
2a虚轴长:
对称轴y=
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
焦点在长轴上
焦点在实轴上
F(,0)
焦点对称轴上
焦距
|F1F2|=2c,
c=
|F1F2|=2c,
准线
x=±
准线垂直于长轴,且在椭圆外.
准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.
x=-
准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.
离心率
e=,0<e<1
e=,e>1
e=1
4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.
当0<e<1时,轨迹为椭圆
当e=1时,轨迹为抛物线
当e>1时,轨迹为双曲线
5.坐标变换
坐标变换在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.
坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则
x=x′+hx′=x-h
(1)或
(2)
y=y′+ky′=y-k
公式
(1)或
(2)叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.
方程
焦线
对称轴
椭圆
+=1
(±
c+h,k)
+h
x=h
y=k
+=1
(h,±
c+k)
y=±
+k
-=1
c+h)
(y-k)2=2p(x-h)
(+h,k)
x=-+h
(y-k)2=-2p(x-h)
(-+h,k)
x=+h
(x-h)2=2p(y-k)
(h,+k)
y=-+k
(x-h)2=-2p(y-k)
(h,-+k)
y=+k
三、知识点、能力点提示
(一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点
说明在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.
例1如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3,求y/x的最大值.
解:
此题有多种解法,但用待定参数,转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.
设=k,则y=kx.要使k的值最大,只须直线y=kx在第一象限与圆相切,而圆心(2,0)到直线y=kx的距离为.
=,解得k=(-舍去).
(二)充要条件
说明充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这几种条件,关键在于要对命题之间的关系很清楚.
例2设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件;
丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么()
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件,D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
由已知乙甲,丙乙,所以丙甲,即丙是甲的充分条件,故选A.
(三)圆的标准方程和一般方程
说明求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程的互化,以及圆与其他曲线之间的关系,特别是圆与直线之间的关系.
例3圆A:
(x+1)2+(y+1)2=1,
圆B:
(x-1)2+(y-1)2=4,则有两圆的公切线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
要判断两圆公切线的条数,只需要判断出此两圆的位置关系,而不必求出其切线方程.∵A圆圆心是C1(-1,-1),B圆圆心是C2(1,1),∴|C1C2|=2,r1=1,r2=2.
r1+r2>|C1C2|即圆A与圆B相离,则此两圆有4条公切线.故选D.
(四)椭圆及其标准方程,焦点、焦距,椭圆的几何性质:
范围、对称性、顶点、长袖、短轴、离心率、准线,椭圆的画法
说明天体的运行轨道基本都是椭圆,所以掌握椭圆的基本概念是很有必要的.考试说明中明确要求,要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.
例4P是椭圆+=1上的点,F1、F2为其焦点,若∠F1PF2=90°
.求ΔPF1F2的面积.
∵S=|PF1|·
|PF2|,而|PF2|+|PF2|=10,
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=36,联合求解得:
PF1·
PF2==32,
∴S=16.
(五)双曲线及其标准方程,焦点、焦距,双曲线的几何性质:
范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线,双曲线的画法,等边双曲线
说明根据已知条件会求双曲线的标准方程,以及双曲线的有关元素.这里与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.
例5已知双曲线-=1(<θ<π)过点
A(4,4).
(1)求实轴、虚轴的长;
(2)求离心率;
(3)求顶点坐标;
(4)求点A的焦半径.
因为双曲线过点A(4,4),所以
-=1,tg2+tgθ-2=0,tgθ=-2,(tgθ=1舍去,因为<θ<π=
∴双曲线方程为-+=1.
从而a=2,b=4,c=2.
(1)实轴长2a=4,虚轴长2b=8.
(2)离心率e==.
(3)顶点为(0,2),(0,-2).
(4)焦点F1(0,-2),F2(0,2).
|AF1|=
=2(+1),
|AF2|=
=2(-1).
(六)抛物线及其标准方程,焦点、准线、抛物线的几何性质:
范围、对称性、顶点、离心率,抛物线的画法
说明这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)的关系,以及抛物线与双曲线一支的区别,y=ax2+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴),双曲线有渐近线,抛物线无渐近线.
例6圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴相切的一个圆的方程是()
A.x2+y2-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+=0
经过配方将四个选项中圆的一般方程化为标准方程.
①(x-)2+(y-1)2=②(x+)2+(y-1)2=
③(x-)2+(y-1)2=④(x-)2+(y-1)2=1
由已知条件,②的圆心不在抛物线y2=2x上.而圆要与x轴相切,则圆心的纵坐标的绝对值要等于半径.故只有④适合.选D.
(七)坐标轴的平移,利用坐标的平移化简圆锥曲线方程
说明坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标,同一条曲线在不同的坐标中有不同的方程.
例7方程x2+4y2+6x-8y+1=0的对称中心是()
A.(-3,-1)B.(-3,1)C.(3,-1)D.(3,1)
将原方程配方后化为+=1,∴对称中心是(-3,1).故选B.
例8求椭圆9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率及准线方程.
将原方程配方后化成
+=1.
x′=x-2
令得到新方程为+=1.
y′=y+3
∴a=3,b=2,c==.
即长轴长2a=6,短轴长2b=4,离心率e==.在新坐标系中,焦点为(0,),(0,-),
准线为y′=±
=±
x=x′+2
由平移公式,得在原坐标系中
y=y′-3
焦点为:
(2,-3)、(2,--3),
准线为:
-3.
(八)综
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