《第八章 立体几何》优秀教案Word格式.docx
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球
半圆
直径所在的直线
圆柱:
两个底面互相平行,有无数条母线,且长度相等,都与轴平行,过轴的截面是全等的矩形
圆锥:
底面是圆面,有无数条母线,长度相等且交于一点,平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆,过轴的截面是全等的等腰三角形
圆台:
上、下底面平行且不相等,母线的延长线交于一点,平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆,过轴的截面是全等的等腰梯形
3.空间几何体的三视图
1几何体的三视图包括:
正视图、侧视图、俯视图.
2三视图的画法❹
①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图.
4.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法❺的规则
1原图形中轴、轴、轴两两垂直,直观图中,′轴,′轴的夹角为45°
或135°
,′轴与′轴和′轴所在平面垂直.
2原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴;
平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变;
平行于轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
三视图的长度特征:
“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图长对正,侧视图和俯视图宽相等,正视图和侧视图高平齐.
斜二测画法中的“三变”与“三不变”:
“三变”
“三不变”
[熟记常用结论]
1.特殊的四棱柱
1C
1C1C1C3cm8cm12cm
解析:
如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C
在Rt△ABC中,AC=12cm,BC=8-3=5cm.
∴AB==13cm.
答案:
13
10.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________.
画出直观图可知,共需要6块.
6
二、专项培优练
一易错专练——不丢怨枉分
1.2021·
开封一模如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,球O2,这两个球外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是
选B 由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切,排除C、D;
若把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部分,由于两球不等,所以排除A,B正确.
,F,G分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1,CC1,DD1的中点,点M,N,Q,1C1C1C1C1M1C1C1C4m4m
解析:
把圆锥侧面沿过点1C3 ,则MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=h-m2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0Δ=h2-8≥0⇒h2≥8,该直角三角形斜边MB=≥2,故该直角三角形斜边长的最小值为2
第二节空间几何体的表面积与体积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πr
S圆锥侧=πr
S圆台侧=πr1+r2
2柱、锥、台、球的表面积和体积❷
名称
几何体
表面积
体积
柱体棱柱和圆柱
S表面积=S侧+2S底
V=Sh
锥体棱锥和圆锥
S表面积=S侧+S底
台体棱台和圆台
S表面积=S侧+S上+S下
V=S上+S下+h
S=4πR2
V=πR3
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的联系:
S圆柱侧=2πrS圆台侧=πr+r′S圆锥侧=πr
柱体、锥体、台体的体积公式间的联系:
V柱体=ShV台体=S′++Sh
1C1C
如图所示,则该几何体的体积是
A.48cm3B.78cm3
C.88cm3D.98cm3
选D 由三视图可知几何体为一个长方体截去一个角后剩余的几何体,所以其体积是6×
3×
6-×
×
4×
5×
3=98cm3.
3[等体积法]如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=AA1=3,点
20cm10B.10cm
C.10cmD.30cm
选B 依题意,在四棱锥SABCD中,所有棱长均为20cm,连接AC,BD交于点O,连接SO,则SO=AO=BO=CO=DO=10cm,易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10cm,在等腰三角形OAS中,AO=SO=10cm,SA=20cm,所以O到SA的距离d=10cm,同理可证O到SB,SC,SD的距离也为10cm,所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O,所以皮球的半径r=10cm
一、题点全面练
沈阳质检某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是
A.4+4 B.4+2
C.8+4
选A 由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥1C1F1G1G1G1F1F1C1C1C1C1C1Cé
nɡ,中国古代算术中的一种几何形体,《九章算术》中记载:
“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍甍的字面意思为茅草屋顶.”如图为一刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则搭建它无底面且不考虑厚度需要的茅草面积为
A.24
C.64D.32
选B 由三视图易知,此几何体的表面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成不考虑底面,则搭建此几何体需要的茅草面积为S=2×
+2×
4+8×
=32
10.[与数学文化交汇]古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题:
“今有仓,东西袤一丈二尺,南北广七尺,南壁高九尺,北壁高八尺,问受粟几何?
”题目的意思是:
有一粮仓的三视图如图所示单位:
尺,问能储存多少粟米.已知1斛米的体积约为162立方尺,估算粮仓可以储存的粟米约有取整数
A.410斛B42021C.430斛D.441斛
选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱,其体积为V=×
7×
12=714立方尺,又≈441,所以可以储存粟米约441斛.
11.[与线面角交汇]2021·
全国卷Ⅱ已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°
,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.
如图,∵SA与底面成45°
角,
∴△SAO为等腰直角三角形.
设OA=r,则SO=r,SA=SB=r
在△SAB中,co∠ASB=,
∴in∠ASB=,
∴S△SAB=SA·
SB·
in∠ASB
=×
r2×
=5,
解得r=2,
∴SA=r=4,即母线长=4,
∴S圆锥侧=πr=π×
2×
4=40π
40π
第三节空间点、线、面之间的位置关系
1.平面的基本性质
1公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
2公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面注意:
三点不一定能确定一个平面.
推论1:
经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
3公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间中两直线的位置关系
1空间中两直线的位置关系
1两条异面直线不能确定一个平面.
2不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线
2异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角或夹角.
②范围:
3公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
1如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
2如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且其中一组方向相同,另一组方向相反,那么这两个角互补.
3如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向都相反,那么这两个角相等.
3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
2平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
1.唯一性定理
1过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
3过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
4过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的2个结论
1平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
[小题查验基础]
一、判断题对的打“√”,错的打“×
”
1如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a
2两个平面ABC与DBC相交于线段BC
3两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
4没有公共点的两条直线是异面直线.
1√ 2×
3√ 4×
二、选填题
1.下列说法正确的是
A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
D
2.已知直线a和平面α,β,α∩β=,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是
A.相交或平行 B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
选D 依题意,直线b和c的位置关系可能相交、平行或异面.
3.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是
A.b⊂αBb∥α
C.b⊂α或b∥αD.b与α相交或b⊂α或b∥α
选D b与α相交或b⊂α或b∥α都可能.
4.设1C1F1C1F1A1A1F1C1C1C1C1C2”1”1C1C2”1C1C1C1F1A1F1F1F1F1F1F1C1C1C1C1C1A1C1A1A1A1C1C1C1C1C1C1C1A1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n
其中所有正确的命题是________填序号.
借
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