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数学关系
解析几何
第一章向量与坐标
向量的概念、加法;数量乘向量;标架、坐标
向量的线性关系、分解;轴上的投影,
两向量的数量积、向量积
三向量的混合积、双重向量积
第二章轨迹与方程
平面曲线方程
曲面方程(曲面方程、参数方程;球、柱坐标系)
空间曲线的方程
第三章平面与空间直线
平面的方程(由平面一点和方位向量决定的平面方程;平面的一般方程、法式方程)
平面与点的相关位置(点与平面距离;平面划分空间问题,三元一次不等式的几何意义)
两平面位置、直线与平面(点)关系、平面束、
两直线位置(夹角、异面直线距离与公垂线)
第四章柱(椎,旋转)曲面与二次曲面
柱面(柱面;空间曲线的摄影曲面)
锥面、旋转曲面、椭球面、
双曲面(单叶双曲面、双叶双曲面)
抛物面(椭圆抛物面、双曲抛物面)
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第五章二次曲面的一般理论
二次曲线与直线位置
二次曲线的渐进方向、中心、渐近线
二次曲线的切线、主直径、主方向
二次曲线的直径(共轭方向与共轭直径)
二次曲线方程化简与分类(直角坐标变换)
应用不变量化简二次曲线方程(不变量与半不变量)
高等代数
第一章多项式
数域、一(多)元多项式、整除、最大公因式
因式分解定理、重因式、多项式函数、
复系数与实系数多项式的因式分解
有理系数多项式、对称多项式
第二章行列式
引言、排列、n级行列式及其性质、计算
行列式按一行(列)展开、克拉默法则
拉普拉斯定理-行列式乘法规则
第三章线性方程组
消元法、n维向量空间、线性相关性、矩阵秩
线性方程组有解判别定理、解的结构、二元高次方程组
第四章矩阵
矩阵概念的一些背景、矩阵运算、矩阵乘积的行列式与秩
矩阵的逆、矩阵分块、初等矩阵
分块乘法的初等变换及应用举例
第五章二次型
二次型及其矩阵表示、标准形
唯一性、正定二次型
第六章线性空间
集合-映射、线性空间定义与简单性质
维数-基与坐标、基变换与坐标变换
线性子空间、子空间的交与和(直和)、线性空间的同构
第七章线性变换
线性变换的定义、运算、(对角)矩阵
特征值与特征向量、线性变换的值域与核
不变子空间、若尔当标准形介绍、最小多项式
第八章λ-矩阵
λ-矩阵、λ-矩阵在初等变换下的标准形
不变因子、矩阵相似的条件、初等因子
若尔当标准形的理论推导、矩阵的有理标准形
第九章欧几里得空间
定义与基本性质、标准正交基、同构、子空间
正交变换、实对称矩阵的标准形
向量到子空间的距离-最小二乘法
数学分析
第一章实数集与函数
实数(实数及其性质、绝对值与不等式)
数集-确界定理(区间与邻域、有界集-确界原理)
函数概念.函数的定义、表示法、四则运算
.复合函数、反函数、初等函数
具有某些特性的函数.有界函数、单调函数
.奇(偶)函数、周期函数
第二章数列极限
数列极限概念
收敛数列的性质
数列极限存在的条件
第三章函数极限
函数极限概念(x趋于∞、x。
时的极限)
函数极限的性质、存在的条件
两个重要的极限.
.
无穷小量与无穷大量.无穷小量、无穷大量
.无穷小量阶的比较、曲线的渐近线
第四章函数的连续性
连续性概念(.函数在一点的连续性;间断点及其分类;区间上的连续函数)
连续函数的性质(连续函数的局部性质;闭区间上连续函数的基本性质;反函数的连续性;一致连续性)
初等函数的连续性(指数函数的连续性;初等函数的连续性)
第五章导数和微分
导数概念(导数定义;导函数;导数几何意义)
求导法则(导数的四则运算;反函数、复合函数的导数;基本求导法则与公式)
参变量函数的导数、高阶导数
微分(微分概念;运算法则;高阶微分;微分在近似计算中的应用)
第六章微分中值定理及其应用
拉格朗日定理和函数的单调性(罗尔定理和拉格朗日定理;单调函数)
柯西中值定理和不等式极限(柯西中值定理;不定式极限)
泰勒公式.带有佩亚诺型余项的泰勒公式
.带有拉格朗日型余项的泰勒公式
.在近似计算上的应用
函数的极值与最大(小值)「极值判别;最大(小)值」
函数的凸性与拐点、图像讨论、方程近似解
第七章实数的完备性
关于实数集完备性的基本定理(.区间套定理;.聚点定理与有限覆盖定理;.实数完备性基本定理之间的等价性)
上极限和下极限
第八章不定积分
.不定积分概念与基本积分公式(原函数与不定积分;基本积分表)
.换元积分法与分部积分法
.有理函数和可化为有理函数的不定积分(有理函数、三角函数有理式、某些无理根式的不定积分)
第九章定积分
.定积分概念(问题提出;定积分的定义)
.牛顿-莱布尼茨公式、定积分的性质(基本性质;积分中值定理)
可积条件(可积必要、充要条件、可积函数类)
.微积分学基本定理-定积分计算(变限积分与原函数的存在性;换元积分法与分部积分法;泰勒公式的积分型余项)
.可积性理论补述(上和与下和的性质;可积的充要条件)
第十章定积分的应用
.平面图形的面积、由平行截面面积求体积
.平行曲线的弧长与曲率、旋转曲面的面积(微元法;旋转曲面的面积)
.定积分在物理中的应用(液体静压力、引力、功与平均功率)
.定积分的近似计算(梯形法;抛物线法)
第十一章反常积分
.反常积分概念(问题提出;两类反常积分的定义)
.无穷积分的性质与收敛判别{无穷积分性质;.非负函数无穷积分的收敛判别法;一般无穷积分的收敛判别法}
.瑕积分的性质与收敛判别
第十二章数项级数
级数的收敛性
正项级数(正项级数收敛性的一般判别原则;比式判别法和根式判别法;积分判别法;拉贝判别法)
一般项级数(交错级数;绝对收敛级数及其性质;阿贝尔判别法和狄利克雷判别法)
第十三章函数列与函数项级数
一致收敛性.函数列以其一致收敛性
.函数项级数及其一致收敛性
.函数项级数一致收敛性判别法
一致收敛函数列与函数项级数的性质
第十四章幂级数
幂级数(收敛区间、性质、运算)
函数的幂级数展开(泰勒级数;初等函数的幂级数展开式)
复变量的指数函数-欧拉公式
第十五章傅里叶级数
傅里叶级数(a.三角级数、正交函数系;b.以2为周期的函数的傅里叶级数;.收敛定理)
以2L为周期的函数的展开式(以2L为周期的函数的傅里叶级数;偶(奇)函数傅里叶级数)
收敛定理的证明
第十六章多元函数的极限与连续
平面点集与多元函数(平面点集;R2上的完备性定理;二元函数;n元函数)
二元函数的极限(二元函数的极限;累次极限)
二元函数连续性(有界闭域上连续函数性质)
第十七章多元函数微分学
可微性(可微性与全微分;偏导数;可微性条件;可微性几何意义及应用)
复合函数微分法(求导法则;全微分)
方向导数与梯度
泰勒公式与极值问题(高阶偏导数;中值定理和泰勒公式;极值问题)
第十八章隐函数定理及其应用
隐函数(概念;存在性分析;定理;求导举例)
隐函数组(概念;定理;反函数组与坐标变换)
几何应用(平面曲线的切线与法线;空间曲线的切线与发平面;曲面的切平面与法线)
条件极值
第十九章含参量积分
含参量正常积分
含参量反常积分(一致收敛性及其判别法;含参量反常积分的性质)
欧拉积分(函数;函数;函数与函数之间的关系)
第二十章曲线积分
第一型曲线积分(定义;计算)
第二型曲线积分(定义;计算;联系)
第二十一章重积分
二重积分的概念(平面图形的面积;二重积分的定义及其存在性;二重积分的性质)
直角坐标系下二重积分的计算
格林公式-曲线积分与路线的无关性(格林公式;曲线积分与路线的无关性)
二重积分的变量变换(公式;用极坐标计算二重积分)
三重积分(概念;化三重积分为累次积分;三重积分换元法)
重积分的应用(曲面面积;质心;转动惯量;引力)
第二十二章曲面积分
第一型曲面积分(概念;计算)
第二型曲面积分(曲面的侧;第二型曲面积分的概念、计算;两类曲面积分的联系
高斯公式与斯托克斯公式
复变函数论
第一章复数与复变函数
复数(复数域;复平面;复数的模与辐角;复数的乘幂与方根;共轭复数;复数在几何上的应用举例;)
复平面上的点集(平面点集的几个基本概念;区域与若尔当曲线)
复变函数(概念;极限与连续性)
复球面与无穷远点(复球面;扩充复平面上的几个基本概念)
第二章解析函数
解析函数的概念与柯西-黎曼方程(复变函数的导数与微分;解析函数与其简单性质;柯西-黎曼方程;用z和刻画复函数)
初等解析函数(指数函数;三角函数与双曲函数)
初等多值函数(根式函数;对数函数;一般幂函数与一般指数函数;具有多个有限支点的情形;反三角函数与反双曲函数)
第三章复变函数的积分
复积分的概念与其简单性质(复变函数积分的定义;复变函数积分的计算问题;复变函数积分的基本性质)
柯西积分定理(柯西积分定理;柯西积分定理的古尔萨证明;不定积分;柯西积分定理的推广;柯西积分定理推广到复周线的情形)
柯西积分公式及其推论(解析函数的无穷可微性;柯西;等式与刘维尔定理;莫雷拉定理;柯西型积分)
解析函数与调和函数的关系
第四章解析函数的幂级数表示法
复级数的基本性质(复数项级数;一致收敛的复函数项级数;解析函数项级数)
幂级数(幂级数的敛散性;收敛半径R的求法,柯西-阿达马公式;幂级数和的解析性)
解析函数的泰勒展式(泰勒定理;幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况;一些初等函数的泰勒展式)
解析函数零点的孤立性及唯一性定理(解析函数零点的孤立性;唯一性定理;最大模原理)
第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点
解析函数的洛朗展式(双边幂级数;解析函数的洛朗展式;洛朗级数与泰勒级数的关系;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式)
解析函数的孤立奇点(孤立奇点的三种类型;可去奇点;施瓦茨引理;极点;本质奇点;皮卡定理)
解析函数在无穷远点的性质
整函数与亚纯函数的概念
第六章留数理论及其应用
留数(定义及留数定理;留数的求法;函数在无穷远点的留数)
用留数定理计算实积分(,,,计算积分路径上有奇点的积分;杂例;应用多值函数的积分)
辐角原理及其应用(对数留数;辐角原理;鲁歇定理)
第七章共形映射
解析变换的特性(解析变换的保域性;解析变换的保角性-导数的几何意义;单叶解析变换的共形性)
分式线性变换(分式线性变换及其分解、共形性、保交比性、保圆周性、保对称点性)
某些初等函数所构成的共形映射(幂函数与根式函数、指数函数与对数函数;由圆弧构成的两角形区域的共形映射;机翼剖面函数及其反函数所构成的共形映射;茹科夫斯基的单叶性区域)
关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理
常微分方程
第一章初等积分法
微分方程和解(微分方程;通解与特解;初值问题;积分曲线;初等积分法)
变量可分离方程(显式变量可分离方程的解法;微分形式变量可分离方程的解法)
齐次方程(齐次方程的解法;第二类可化为变量可分离的方程)
一阶线性微分方程(通解;伯努利方程)
全微分方程及积分因子;一阶隐式微分方程
几种可降阶的高阶方程(第一种;第二种;恰当导数方程)
一阶微分方程应用举例(等角轨线;动力学、电学、光学、流体混合问题;)
变分法简介(泛函和极值问题;欧拉方程;欧拉方程的降阶法;泛函的极值)
第二章基本定理
常微分方程的几何解释(线素场;欧拉折线;初值问题解的存在性)
解的存在唯一性定理(定理的叙述;存在性、唯一性的证明;两点说明)
解的拓展(延展解、不可延展解的定义;不可延展解的存在性及其性质;比较定理)
奇解与包络(奇解;不存在奇解的判别法;包络线及奇解的求法)
解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性
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