点差法与焦点三角形Word格式.docx
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一.课前回顾
二.知识梳理
知识点一:
求轨迹方程的方法
求曲线的方程(点的轨迹方程)的步骤:
建、设、限、代、化.
①建立适当的直角坐标系;
②设动点及其他的点;
③找出满足限制条件的等式;
④将点的坐标代入等式;
⑤化简方程,并验证(查漏除杂)。
知识点二:
圆锥曲线基本知识点
椭圆:
焦点的位置
焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2,即()
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数,即
范围
且
顶点
、
轴长
长轴的长短轴的长
对称性
关于轴、轴对称,关于原点中心对称
焦点
焦距
离心率
准线方程
焦半径
左焦半径:
右焦半径:
下焦半径:
上焦半径:
焦点三角形面积
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:
(焦点)弦长公式
,
双曲线:
到两定点的距离之差的绝对值等于常数,即()
或,
实轴的长虚轴的长
渐近线方程
在右支
在左支
在上支
在下支
抛物线:
抛
物
线
定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
关于轴对称
(,0)
(0,)
焦点在对称轴上
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦点弦长
焦点弦的几条性质
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为,则
切线
知识点三:
焦点三角形
1.已知P为椭圆上的一点,是焦点,,求证:
面积是.
解:
如图,设,由椭圆的对称性,不妨设,
由椭圆的对称性,不妨设在第一象限.由余弦定理知:
·
.①
由椭圆定义知:
②
则得.
故
.
2.已知双曲线上有一点,焦点为,且,求证:
的面积为.
知识点四:
点差法
已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦,是的中点,为椭圆的中心.求证:
直线和直线的斜率之积是定值.
证明设且,
则,
(1),
(2)
得:
,.
又,,(定值)
双曲线呢?
三.例题讲解
一、以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程.
例2、已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、,且点是线段的中点。
若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,说明理由.
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点,求点的坐标.
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为,求椭圆的方程.
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
四.总结与反思
五.课后作业
1、抛物线的准线方程是
2、方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的范围是________________
3、与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为_______________
4、设,则方程表示的曲线的焦点坐标是
5、抛物线上点M到焦点的距离是5,则点M的坐标
6、已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则实数_______
7、抛物线内有一点,在抛物线上找一点,使得取得最小值,则的坐标为
8、如果分别是双曲线的左、右焦点,AB是双曲线左支上过点F1的弦,且,则的周长是___________
9、若椭圆上的一点到焦点的距离,是的中点,是坐标原点,则_________
10、若直线与双曲线有一个公共点,求实数k的取值集合
11、已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点,则的取值范围是
12、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,则弦长的值为 .
13、椭圆的两个焦点为,点在椭圆上,△的面积为的正三角形,
则
14、若双曲线右支上一点到直线的距离为,则=
15、已知椭圆+y2=1.
(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(2)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程;
(3)过点P且被P点平分的弦所在直线的方程
16、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
草稿纸
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- 点差法 焦点 三角形