322 空间线面关系的判定 教案3苏教版选修21文档格式.docx
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本节对用向量讨论平行与垂直的认识,从必修内容中推理证明到用向量法的计算来对位置关系判断与证明,为学生提供了另外一种思想.学生已经学习了立体几何中直线平面的位置关系,具备有关知识,学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识,但解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺,所以需要老师循序渐进的引导.在教学策略上采用:
复习引入→推进新课→归纳与总结→反思组成的探究式教学策略,并使用计算机多媒体作为辅助教具,提高课堂效率.本节课难点在于用向量证明平行与垂直,所以利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点,更符合学生的认知规律.同时在教学中注意关注整个过程和全体学生,充分调动学生积极参与教学过程的每个环节.本节课给学生提供以下4种学习的机会:
(1)提供观察、思考的机会:
用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳.
(2)提供操作、尝试、合作的机会:
鼓励学生大胆利用资源,发现问题,讨论问题,解决问题.(3)提供表达、交流的机会:
鼓励学生敢想敢说,设置问题促使学生愿想愿说.(4)提供成功的机会:
赞赏学生提出的问题,让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣.
●教学流程
回顾:
(1)怎样求直线的方向向量?
(2)怎样求平面的法向量?
(3)立体几何中线线、线面、面面平行与垂直是怎样判定的?
为向量法研究几何问题提供工具方法和相应知识铺垫.⇒学习新知:
怎样利用向量判定几何中的平行与垂直关系?
数形结合,画出图形,由几何结论转化为向量结论,用符号语言表示结论,并且列表整理.⇒通过例1及变式训练,使学生掌握向量法证明平行问题,注意线面平行的证法有两种,一是证向量共面,二是证与法向量垂直.注意总结步骤,程序化操作.⇒通过例2及变式训练,使学生掌握向量法证明垂直问题,注意线面垂直的证法有两种,一是直线的方向向量与平面的法向量共线,二是证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量垂直.⇒通过例3及变式训练,使学生掌握与平行、垂直有关的探究问题,如存在性问题,点位置问题等,一般假定存在,往下探究,若得出结果符合已知条件,则结论成立:
若得出矛盾,则不存在.⇒通过易错易误辨析,注意利用向量垂直证明线面垂直的严谨性,不能主观臆造结论,要严格按照判定方法进行证明.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标,巩固基本知识,形成基本能力.
课标解读
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系,能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(重点)
2.向量法证明空间平行与垂直.(重点、难点)
3.向量法证明线面平行.(易错点)
向量法判定线面关系
【问题导思】
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.
1.怎样判定l1∥l2,l1⊥l2?
【提示】 l1∥l2⇔e1∥e2⇔e1=λe2(λ∈R),
l1⊥l2⇔e1⊥e2⇔e1·
e2=0.
2.怎样判定l1∥α1,l1⊥α1?
【提示】 l1∥α1⇔e1⊥n1(l1⊄α1)⇔e1·
n1=0(l1⊄α1)
⇔
l1⊥α1⇔e1∥n1⇔e1=λn1(λ∈R)
⇔⇔
3.怎样判定α1∥α2,α1⊥α2?
【提示】 α1∥α2⇔n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R),
α1⊥α2⇔n1⊥n2⇔n1·
n2=0.
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:
平行
垂直
l1与l2
e1∥e2
e1⊥e2
l1与α1
e1⊥n1
e1∥n1
α1与α2
n1∥n2
n1⊥n2
向量法证明平行问题
图3-2-6
在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图3-2-6),设O、O1分别为AC,A1C1的中点,求证:
(1)BO1∥OD1;
(2)BO1∥平面ACD1;
(3)平面A1BC1∥平面ACD1.
【思路探究】 画图→建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→判断向量关系→定线面关系
【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则有:
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),O1(1,1,2),O(1,1,0).
(1)由上可知=(-1,-1,2),=(-1,-1,2),
∴=∴∥,
又直线BO1与OD1无公共点,
∴BO1∥OD1.
(2)法一 由上可知=(-2,2,0),=(-2,0,2),
∴=-+,∴,,共面,
∴∥平面ACD1,又BO1⊄平面ACD1,
∴BO1∥平面ACD1.
法二 设平面ACD1的一个法向量为n=(x,y,1),由
得∴∴n=(1,1,1).
∴·
n=(-1,-1,2)·
(1,1,1)=0,
∴⊥n.又∵BO1⊄平面ACD1,
(3)法一 ∵=(-2,0,2),=(-2,0,2),
∴∥,又BC1与AD1不重合,
∴BC1∥AD1,又BC1⊄平面ACD1,
∴BC1∥平面ACD1.
又由
(1)知BO1∥平面ACD1.
∵BC1,BO1⊂平面A1BC1,且BC1∩BO1=B,
∴平面A1BC1∥平面ACD1.
法二 设平面A1BC1的一个法向量为n′=(x,y,1),由.
可求得n′=(1,1,1),∴n′=n,
∴平面ACD1∥平面A1BC1.
1.证明线面平行常用的方法:
(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面.
(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行.
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
2.证明面面平行常用的方法:
(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面.
(2)证明两个平面的法向量平行.
(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.
图3-2-7
(2012·
辽宁高考)如图3-2-7,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°
,AB=AC=λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.证明:
MN∥平面A′ACC′.
【证明】 如图,以A为坐标原点,AB,AC,AA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AA′=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),所以M(,0,),N(,,1),从而=(0,,).
显然AB⊥平面A′ACC′,所以=(λ,0,0)是平面A′ACC′的一个法向量.
因为·
=0,所以⊥,又MN⊄平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.
向量法证明垂直问题
图3-2-8
如图3-2-8,正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB1⊥BC1,求证:
AB1⊥CA1.
【思路探究】 思路一,基向量法,以,,为基向量,表示,,证明·
=0;
思路二,坐标法,建立空间直角坐标系,写出,坐标,证明·
=0.
【自主解答】 法一 设=a,=b,=c,则=a+c,
=b-a+c,=c-b,
而A1A⊥AB,A1A⊥AC,则a·
c=0,b·
c=0.
=(a+c)·
(b-a+c)
=c2-a2+a·
b=0,①
·
(c-b)=c2-a·
b.②
把①中c2=a2-a·
b代入②式得
=a2-2a·
b=a2-2|a||b|cos60°
∴AB1⊥CA1.
法二 建立如图所示的空间直角坐标系,设正三棱柱底面边长为a,侧棱长为b,则
A(0,0,0),B(a,,0),C(0,a,0),A1(0,0,b),B1(a,,b),C1(0,a,b).
∴=(a,,b),=(-a,,b),=(0,-a,b).
∵AB1⊥BC1,
=-++b2=-+b2=0.
而·
=-+b2=0,
∴⊥,即AB1⊥CA1.
1.法二中,常犯的一种错误是以,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,错误的原因就是∠BAC=60°
,而不是90°
,因此不是空间直角坐标系.
2.证明空间垂直问题,主要是两种方法:
(1)基向量法,
(2)坐标法,易于建立坐标系,求向量坐标的问题用坐标法,否则利用基向量法.
(2013·
陕西高考)如图3-2-9,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
证明:
A1C⊥平面BB1D1D.
图3-2-9
【证明】 法一 由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AB=AA1=,
∴OA=OB=OA1=1,
∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).
由=,易得B1(-1,1,1).
∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,1),
=0,·
=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,
∴A1C⊥平面BB1D1D.
法二 ∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥BD.
又四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面A1OC,∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线,∴A1A=A1C=,且AC=2,
∴AC2=AA+A1C2,
∴△AA1C是直角三角形,∴AA1⊥A1C.
又BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,又BB1∩BD=B,
与平行、垂直有关的探究问题
图3-2-10
如图3-2-10所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
(1)求cos,;
(2)在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF?
若存在,求出||,若不存在,请说明理由.
【思路探究】 这是一道存在性问题,常用的方法就是假设存在这样的点F,然后在此条件下求该问题.若存在,则一定能求出结果;
若不存在,则理由就是求解的过程.
【自主解答】
(1)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.
∵AC=2a,∠ABC=90°
,△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=BC=a.
∴B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B1(0,0,3a),A1(a,0,3a),C1(0,a,3a),D(a,a,3a),E(0,a,),
∴=(a,-a,3a),=(0,a
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