中考数学综合题专练二次函数附答案Word文档格式.docx
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x=3,
所以点B的坐标为(3,0),
将(0,﹣3)、(3,0)代入y=ax2+b中,可得:
,
解得:
所以二次函数的解析式为:
yx2﹣3;
(3)存在,分以下两种情况:
①若M在B上方,设MC交x轴于点D,
则∠ODC=45°
+15°
=60°
∴OD=OC•tan30°
设DC为y=kx﹣3,代入(,0),可得:
k,
联立两个方程可得:
所以M1(3,6);
②若M在B下方,设MC交x轴于点E,
则∠OEC=45°
-15°
=30°
∴OE=OC•tan60°
=3,
设EC为y=kx﹣3,代入(3,0)可得:
所以M2(,﹣2).
综上所述M的坐标为(3,6)或(,﹣2).
【点睛】
此题是一道二次函数综合题,熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.
2.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5)
(1)求该函数的关系式;
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△OA′B′的面积.
(1)y=﹣x2﹣2x+3;
(2)抛物线与x轴的交点为:
(﹣3,0),(1,0)(3)15.
(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;
(2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;
令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标;
(3)由
(2)可知:
抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.
(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4,
将B(2,﹣5)代入得:
a=﹣1,
∴该函数的解析式为:
y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:
(0,3),
令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:
x1=﹣3,x2=1,
即抛物线与x轴的交点为:
(﹣3,0),(1,0);
(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),
由
(2)知:
M(﹣3,0),N(1,0),
当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,
故A'
(2,4),B'
(5,﹣5),
∴S△OA′B′=×
(2+5)×
9﹣×
2×
4﹣×
5×
5=15.
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.
①求线段PM的最大值;
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.
(1)二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3;
(2)①PM最大=;
②P(2,﹣3)或(3-,2﹣4).
(1)根据待定系数法,可得答案;
(2)①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;
②根据等腰三角形的定义,可得方程,根据解方程,可得答案.
(1)将A,B,C代入函数解析式,
得,解得,
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3;
(2)设BC的解析式为y=kx+b,
将B,C的坐标代入函数解析式,得
,解得,
BC的解析式为y=x﹣3,
设M(n,n﹣3),P(n,n2﹣2n﹣3),
PM=(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)=﹣n2+3n=﹣(n﹣)2+,
当n=时,PM最大=;
②当PM=PC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n2﹣2n﹣3+3)2,
解得n1=0(不符合题意,舍),n2=2,
n2﹣2n﹣3=-3,
P(2,-3);
当PM=MC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n﹣3+3)2,
解得n1=0(不符合题意,舍),n2=3+(不符合题意,舍),n3=3-,
n2﹣2n﹣3=2-4,
P(3-,2-4);
综上所述:
P(2,﹣3)或(3-,2﹣4).
本题考查了二次函数的综合题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识,综合性较强,解题的关键是认真分析,弄清解题的思路有方法.
4.已知,点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.
(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(,y1),D(,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.
(1)点M在直线y=4x+1上;
理由见解析;
(2)x的取值范围是x<0或x>5;
(3)①当0<b<时,y1>y2,②当b=时,y1=y2,③当<b<时,y1<y2.
(1)根据顶点式解析式,可得顶点坐标,根据点的坐标代入函数解析式检验,可得答案;
(2)根据待定系数法,可得二次函数的解析式,根据函数图象与不等式的关系:
图象在下方的函数值小,可得答案;
(3)根据解方程组,可得顶点M的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案.
(1)点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,
∴M的坐标是(b,4b+1),
把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,
∴点M在直线y=4x+1上;
(2)如图1,
直线y=mx+5交y轴于点B,
∴B点坐标为(0,5)又B在抛物线上,
∴5=﹣(0﹣b)2+4b+1=5,解得b=2,
二次函数的解析是为y=﹣(x﹣2)2+9,
当y=0时,﹣(x﹣2)2+9=0,解得x1=5,x2=﹣1,
∴A(5,0).
由图象,得
当mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1时,x的取值范围是x<0或x>5;
(3)如图2,
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于F,
A(5,0),B(0,5)得
直线AB的解析式为y=﹣x+5,
联立EF,AB得方程组,
解得,
∴点E(,),F(0,1).
点M在△AOB内,
1<4b+1<,
∴0<b<.
当点C,D关于抛物线的对称轴对称时,b﹣=﹣b,∴b=,
且二次函数图象开口向下,顶点M在直线y=4x+1上,
综上:
①当0<b<时,y1>y2,
②当b=时,y1=y2,
③当<b<时,y1<y2.
本题考查了二次函数综合题,解
(1)的关键是把点的坐标代入函数解析式检验;
解
(2)的关键是利用函数图不等式的关系:
图象在上方的函数值大;
解(3)的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围,又利用了二次函数的性质:
a<0时,点与对称轴的距离越小函数值越大.
5.某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?
最大利润是多少?
(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期为50天,按照
(2)的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚?
若能,请说明理由;
若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润?
(1)y=﹣20x+500,(x≥6);
(2)当x=15.5时,w的最大值为1805元;
(3)当x=13时,w=1680,此时,既能销售完又能获得最大利润.
(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式:
y=kx+b即可求解;
(2)由题意得:
w=y(x﹣6)=﹣20(x﹣25)(x﹣6),∵﹣20<0,故w有最大值,即可求解;
(3)当x=15.5时,y=190,50×
190<12000,故:
按照
(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完;
由50(500﹣20x)≥12000,解得:
x≤13,当x=13时,既能销售完又能获得最大利润.
解:
y=kx+b得:
即:
函数的表达式为:
y=﹣20x+500,(x≥6);
(2)设:
该品种蜜柚定价为x元时,每天销售获得的利润w最大,
则:
w=y(x﹣6)=﹣20(x﹣25)(x﹣6),
∵﹣20<0,故w有最大值,
当x=﹣==15.5时,w的最大值为1805元;
(3)当x=15.5时,y=190,
50×
190<12000,
故:
设:
应定销售价为x元时,既能销售完又能获得最大利润w,
由题意得:
50(500﹣20x)≥12000,解得:
x≤13,
w=﹣20(x﹣25)(x﹣6),
当x=13时,w=1680,
此时,既能销售完又能获得最大利润.
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).
6.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,是否存在这样的点P,使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴正半轴上运动,当以点C,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.
(1)y=-x2+4x;
(2)C(3,3),面积为3;
(3)P的坐标为(5,-5);
(4)或5.
试题分析:
(1)利用待定系数法进行求解即可;
(2)先求出抛物线的对称轴,利用对称性即可写出点C的坐标,利用三角形面积公式即可求面积;
(3)利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求;
(4)分情况进行讨论,确定点M、N,然后三角形的面积公式即可求.
试题解析:
(1)将A(4,
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