高中数学第二章参数方程第2节第2课时双曲线抛物线的参数方程教学案新人教A版选修4Word格式文档下载.docx
- 文档编号:14583737
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:184.83KB
高中数学第二章参数方程第2节第2课时双曲线抛物线的参数方程教学案新人教A版选修4Word格式文档下载.docx
《高中数学第二章参数方程第2节第2课时双曲线抛物线的参数方程教学案新人教A版选修4Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第二章参数方程第2节第2课时双曲线抛物线的参数方程教学案新人教A版选修4Word格式文档下载.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M,以射线OM为终边的角.
在双曲线x2-y2=1上求一点P,使P到直线y=x的距离为.
[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用,解答本题需要先求出双曲线的参数方程,设出P点的坐标,建立方程求解.
设P的坐标为(secφ,tanφ),由P到直线x-y=0的距离为得=
得|-|=2,|1-sinφ|=2|cosφ|
平方得1-2sinφ+sin2φ=4(1-sin2φ),
即5sin2φ-2sinφ-3=0.
解得sinφ=1或sinφ=-.
sinφ=1时,cosφ=0(舍去).
sinφ=-时,cosφ=±
.
∴P的坐标为(,-)或(-,).
参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的,因而曲线的参数方程具有消元的作用,利用它可以简化某些问题的求解过程,特别是涉及到最值、定值等问题的计算时,用参数方程可将代数问题转化为三角问题,然后利用三角知识处理.
1.求证:
等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点.
证明:
设双曲线为x2-y2=a2,取顶点A(a,0),
弦B′B∥Ox,B(asecα,atanα),则B′(-asecα,atanα).
∵kB′A=,kBA=,
∴kB′A·
kBA=-1.
∴以BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
连接原点O和抛物线2y=x2上的动点M,延长OM到P点,使|OM|=|MP|,求P点的轨迹方程,并说明它是何曲线.
[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用.解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M、P的坐标,然后借助中点坐标公式求解.
设M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在抛物线的延长线上,且M为线段OP的中点,抛物线的参数方程为由中点坐标公式得
变形为y0=x,即x2=4y.表示的为抛物线.
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时,常根据需要引入一个中间变量即参数(将x,y表示成关于参数的函数),然后消去参数得普通方程.这种方法是参数法,而涉及曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标
2.已知抛物线C:
(t为参数),设O为坐标原点,点M在抛物线C上,且点M的纵坐标为2,求点M到抛物线焦点的距离.
解:
由得y2=2x,
即抛物线的标准方程为y2=2x.
又∵M点的纵坐标为2,
∴M点的横坐标也为2.
即M(2,2).
又∵抛物线的准线方程为x=-.
∴由抛物线的定义知|MF|=2-(-)=2+=.
即点M到抛物线焦点的距离为.
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线(θ为参数)的右顶点和右焦点,求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离.
[精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程,解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程,然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可.
∵-=1,
∴右焦点(5,0),右顶点(4,0).
设椭圆+=1,∴a=5,c=4,b=3.
∴方程为+=1.
设椭圆上一点P(5cosθ,3sinθ),
双曲线一渐近线为3x-4y=0,
∴点P到直线的距离d=
=(tanφ=).
∴dmax=.
对于同一个方程,确定的参数不同,所表示的曲线就不同,当题目条件中出现多个字母时,一定要注明什么是参数,什么是常量,这一点尤其重要.
3.(广东高考)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ≤π)和(t∈R),它们的交点坐标为______________.
解析:
由(0≤θ≤π)得+y2=1(y≥0),
由(t∈R)得x=y2.
联立方程可得则5y4+16y2-16=0,
解得y2=或y2=-4(舍去),则x=y2=1.
又y≥0,所以其交点坐标为(1,).
答案:
(1,)
本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化.天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用,属低档题.
[考题印证]
(天津高考)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>
0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=________.
[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用.
[解析] 由题意知,抛物线的普通方程为y2=2px(p>
0),焦点F(,0),准线x=-,设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|,所以△MEF是正三角形,在Rt△EFA中,|EF|=2|FA|,即3+=2p,得p=2.
2
一、选择题
1.下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( )
A. B.
C.D.
选D 注意参数范围,可利用排除法.普通方程x2-y=0中的x∈R,y≥0.A中x=|t|≥0,B中x=cost∈[-1,1],故排除A和B.而C中y==cot2t==,即x2y=1,故排除C.
2.下列双曲线中,与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.-=1B.-=-1
C.-x2=1D.-x2=-1
选B 由x=secθ得,x2==
=3tan2θ+3,
又∵y=tanθ,
∴x2=3y2+3,即-y2=1.
经验证可知,选项B合适.
3.过点M(2,4)且与抛物线只有一个公共点的直线有( )条( )
A.0B.1
C.2D.3
选C 由得y2=8x.
∴点M(2,4)在抛物线上.
∴过点M(2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条.
4.方程(t为参数)表示的曲线是( )
A.双曲线B.双曲线的上支
C.双曲线下支D.圆
选B 将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,得:
x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4,
即y2-x2=4.
又注意到2t>
0,2t+2-t≥2=2,即y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为:
y2-x2=4(y≥2).
显然它表示焦点在y轴上,以原点为中心的双曲线的上支.
二、填空题
5.(陕西高考)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________.
代入法消参,得到圆锥曲线的方程为y2=4x,则焦点坐标为(1,0).
(1,0)
6.已知抛物线C:
(t为参数)设O为坐标原点,点M在C上运动(点M与O不重合),P(x,y)是线段OM的中点,则点P的轨迹普通方程为________.
抛物线的普通方程为y2=2x,设点P(x,y),点M为(x1,y1)(x1≠0),则x1=2x,y1=2y.
∵点M在抛物线上,且点M与O不重合,
∴4y2=4x⇒y2=x.(x≠0)
y2=x(x≠0)
7.双曲线(α为参数)的两焦点坐标是________.
双曲线(α为参数)的标准方程为
-=1,焦点在y轴上,c2=a2+b2=48.
∴焦点坐标为(0,±
4).
(0,±
4)
8.(广东高考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为________.
由得y=,又由
得x2+y2=2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1).
(1,1)
三、解答题
9.已知双曲线-=1(a>
0,b>
0),A、B是双曲线同支上相异两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),求证:
|x0|>
设A、B坐标分别为(asecα,btanα),(asecβ,btanβ),则中点为M((secα+secβ),(tanα+tanβ)),于是线段AB中垂线方程为
y-(tanα+tanβ)
=-[x-(secα+secβ)].
将P(x0,0)代入上式,∴x0=(secα+secβ).
∵A、B是双曲线同支上的不同两点,
∴|secα+secβ|>
2.
∴|x0|>
10.过点A(1,0)的直线l与抛物线y2=8x交于M、N两点,求线段MN的中点的轨迹方程.
设抛物线的参数方程为(t为参数),
可设M(8t,8t1),N(8t,8t2),
则kMN==.
又设MN的中点为P(x,y),
则∴kAP=.
由kMN=kAP知t1·
t2=-,
又
则y2=16(t+t+2t1t2)=16(-)=4(x-1).
∴所求轨迹方程为y2=4(x-1).
11.已知圆O1:
x2+(y-2)2=1上一点P与双曲线x2-y2=1上一点Q,求P、Q两点距离的最小值.
设Q(secθ,tanθ),|O1P|=1,
又|O1Q|2=sec2θ+(tanθ-2)2
=(tan2θ+1)+(tan2θ-4tanθ+4)
=2tan2θ-4tanθ+5
=2(tanθ-1)2+3.
当tanθ=1,即θ=时,|O1Q|2取最小值3,
此时有|O1Q|min=.
又|PQ|≥|O1Q|-|O1P|
∴|PQ|min=-1.
2019-2020年高中数学第二章参数方程第3节直线的参数方程教学案新人教A版选修4-4
即5sin2φ-2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第二 参数 方程 课时 双曲线 抛物线 教学 新人 选修
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/14583737.html