初中数学竞赛专题选讲《函数的图象》文档格式.docx
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0的解集和方程f(x)=0的解.
4两个函数图象的交点坐标,就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等
4.画函数图象一般是:
①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义,并使代数式所表示的实际问题有意义,还要注意是否连续,是否有界.
②一般用描点法,但对一次函数(二元一次方程)的图象,因它是直线(包括射线、线段),所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).
③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式,应按定义对自变量分区讨论,写成几个解析式.
二、例题
例1. 右图是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0),
试决定a, b, c及b2-4ac的符号.
解:
∵抛物线开口向下, ∴a<
0.
∵对称轴在原点右边,∴x=->
0且a<
0,∴b>
∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上, ∴截距c>
∵抛物线与横轴有两个交点, ∴b2-4ac>
例2.已知:
抛物线f:
y=-(x-2)2+5.
试写出把f向左平行移动2个单位后,所得的曲线f1的方程;
以及f关于x轴对称的曲线f2的方程. 画出f1和f2的略图,并求:
(1)x的值什么范围,曲线f1和f2都是下降的;
(2)x的值在什么范围,曲线f1和f2围成一个封闭图形;
(3)求在f1和f2围成封闭图形上,平行于y轴的线段的长度的最大值.
(1980年福建省中招试题)
f1 :
y=-x2+5 (由顶点横坐标变化确定的),
f2:
y=(x-2)2-5(由开口方向相反确定的).
(1)当x≥0时,f1下降,
当x≤2时,f2下降,
∴当0≤x≤2时,曲线f1和f2都是下降的.
(2)求两曲线的交点横坐标,
即解方程组
x2-2x-3=0.
∴x=-1;
或x=3.
∴当-1≤x≤3时,曲线f1和f2围成一个封闭图形.
(3)封闭图形上,平行于y轴的线段的长度,
就是对应于同一个横坐标,两曲线上的点
的纵坐标的差.
在区间–1≤x≤3内,
设f1上的点P1(x,y1), f2上的点P2(x,y2),
求y1-y2的最大值,可用配方法:
y1-y2 = (-x2+5)-[(x-2)2-5]
=-2x2+4x+6
=-2(x-1)2+8.
∵-2<
0, ∴y1-y2有最大值.
当x=1时,y1-y2的值最大是8.
即线段长度的最大值是8.
例3. 画函数y=的图象.
自变量x的取值范围是全体实数,下面分区讨论:
当x<
-1时, y=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;
当-1≤x<
2时, y=x+1-(x-2)=3;
当x≥2时, y=x+1+x-2=2x-1.
即y==
x
…
-2
-1
2
3
y=-2x+1(x<
-1)
5
y=3(-1≤x<
2)
y=2x-1(x≥2)
∴ 画函数y=的图象如下图:
例4.画方程[x]2+[y]2=1的图象,[m]表示不超过m的最大整数.
(1985年徐州市初中数学竞赛题).
∵[x]2≥0, 且 [y]2=1-[x]2≥0,
∴[x]2≤1.
∴0≤[x]2≤1.
∵[m]表示不超过m的最大整数,
∴当[x]2=0[x]=00≤x≤1.
当[x]2=1[x]=
自变量x的取值范围是:
-1≤x<
2.
x
0
0≤x<
1
1≤x<
2
[x]
[x]2
[y]2=1-[x]2
[y]
y
0≤y<
-1≤y<
1≤y<
1
如图阴影部分的四个正方形,
就是所求方程的图象.
只包括各正方形左、下边界,
不包括各正方形右、上边界.
例5. 直线y=x+m与双曲线y=在第一象限相交点A,SRt△AOB=3.
1求m的值;
②设直线与x轴交于点C,求点C的坐标;
③求S△ABC.
①设A坐标为 (x, x+m).
∵S△AOB=OB×
BA.
∴
整理得
∴m=6
②∵直线与x轴交于点C.
把y=0代入y=x+6得x=-6,
∴点C的坐标是(-6,0)
③∵直线y=x+m与双曲线y=在第一象限相交点A,
解方程组 得
即点A的坐标是 (-3+,3+).
∴BC==3+
∴S△ABC=(3+)(3+)=12+3.
例6.选择题(只有一个正大确的答案).
①函数y=kx+k与y=在同一坐标系中的图象的大体位置是 ()
②函数y=1-的图象是( )
①常数k是同一个值,.双曲线y= 在一、三象限,k>
0, 那么y=kx+k中,
当k>
0时,直线上升且在y轴上的截距为正. 所以应选 (D);
②注意到y=1-中,当x=0和x=1时y有最大值1,故选 (A).
三、练习
1.填空:
1横坐标为-2的点的集合,记作直线_____,纵轴记作直线______,
横轴记作直线_____,横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线______,
经过一、三象限,平分两坐标轴夹角的直线记作方程_______.
②点P(x, y)关于横轴的对称点P1的坐标是( ),点P关于原点的对称
点P2的坐标是( ).
③ f:
y=3(x-2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作_______
f关于原点对称的抛物线f2记作_______.
4A(1,3)关于直线y=x的对称点A,的坐标是( ).
点B(-2,3)关于直线y=-x的对称点B,的坐标是( ).
2.根据图象位置判断指定的常数的符号
1直线y=kx+b经过二、一、四象限,则k,b的符号是______
2抛物线y=ax2+bx+c的位置,如图所示,试确定下列代数式的符号
a__,-______,b______,c_______,
b2-4ac______,
______
_____
3.选择题(只有一个正确的答案)
(1)下图
(1)是一次函数px+qy+r=0的图象,下列条件正确的是( ).
(A)p=q, r=0. (B)p=-q, r=0. (C)p=q, r=1. (D)p=-q,r=1.
(2)下图
(2)是二次函数y=ax2+bx+c的图象,如下答案哪个正确?
( )
(A)a+b+c=0. (B)a+b+c<
0. (C)a+b+c>
0. (D)a+b+c值不定.
(1)
(3)二次函数y=a(x+m)2+n中,a>
0,m>
0,n>
0它的图象( )
(4)两个一次函数y=mx+ny=nx+m且mn<
0,那么它们在同一坐标系内的图象大致为( )
(D)
(5)在同一坐标系内,y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是( )
(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是( )
(1983年福建省初中数学竞赛题)
4. 画下列函数的图象
①y=;
②y=;
③y=()2;
④ y=-.
5. 有m部同样的机器,同时开始工作,需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务,求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系,并画出当m=5时函数的图象.
6. 画如下方程、函数的图象.①;
②y=x2-2|x|-3.
7. 这是一张追及图看图回答:
① 谁追及谁?
② 谁早出发,早几小时?
③ 甲、乙在这段路程速度各多少?
④ 追的人从出发到追上,用了几小时?
走多少路程?
⑤ 分别列出甲、乙两人的路程y甲,y乙和时间x的函数关系的解析式.
8. 如图,抛物线L1:
y=ax2+2bx+c和抛物线L2:
y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点,说明理由;
②.求出点B和点C的横坐标;
③.若AB=BC,OC=OD,求a, b, c的值.
9. 坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点),试在二次函数y=
的图象上找出满足y的所有整点(x,y),并说明理由.
(1995年全国初中数学联赛题)
(8)
练习题参考答案
1. ①x=-2, x=0, y=0, y=-x, y=x;
②(x,y),(-x,-y);
③y=-3(x-2)2-5, y=-3(x+2)2-5 ④(3,1),(-3,2)
2. ①k<
0, b>
0. ②正,负,正,负,负,正,负.
3. ①(A), ②(B), ③(B), ④(C), ⑤(D), ⑥(C)
4. ①∵x≠0,∴图象不以过原点;
② y≥0;
③x≥0;
④ y≤0.
5. y=(x是正整数x≤m=5).
6. (如图)
7. ①乙追及甲;
②甲先1小时;
③时速甲4、乙5千米;
④乙用4小时追上甲先走的4千米 ⑤y甲=4x,y乙=5x
8. ①∵由图象a,a+1异号,∴L2过A,B,C三点. ②-3,-1. ③-,0,.
9. (2,2),(4,3),(7,6),(9,9),(-3,3),(-6,6).
由x2-x+18≤10.
当x≥0时,x2-
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