中考数学二次函数专题总复习文档格式.docx
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1
二次函数的图象和性质
2.5~3%
2
二次函数的图象与系数的关系
6%
3
二次函数解析式的求法
2.5~10.5%
4
二次函数解决实际问题
8~10%
(二)中考热点:
二次函数知识是每年中考的重点知识,是每卷必考的主要内容,本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用,这些知识是考查学生综合能力,解决实际问题的能力.因此函数的实际应用是中考的热点,和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题.
三、中考命题趋势及复习对策
二次函数是数学中最重要的内容之一,题量约占全部试题的10%~15%,分值约占总分的10%~15%,题型既有低档的填空题和选择题,又有中档的解答题,更有大量的综合题,近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题,这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法,全面地考查学生的计算能力,逻辑思维能力,空间想象能力和创造能力。
针对中考命题趋势,在复习时应首先理解二次函数的概念,掌握其性质和图象,还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系,此外对各种函数的综合应用还应多加练习.
考点1:
一、考点讲解:
1.二次函数的定义:
形如(a≠0,a,b,c为常数)的函数为二次函数.
2.二次函数的图象及性质:
⑴二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是y轴;
当a>0时,抛物线开口向上,顶点是最低点;
当a<0时,抛物线开口向下,顶点是最高点;
a越小,抛物线开口越大.y=a(x-h)2+k的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k)。
⑵二次函数的图象是一条抛物线.顶点为(-,),对称轴x=-;
当a>0时,抛物线开口向上,图象有最低点,且x>-,y随x的增大而增大,x<-,y随x的增大而减小;
当a<0时,抛物线开口向下,图象有最高点,且x>-,y随x的增大而减小,x<-,y随x的增大而增大.
注意:
分析二次函数增减性时,一定要以对称轴为分界线。
首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧,然后再根据具体情况分析其大小情况。
解题小诀窍:
二次函数上两点坐标为(),(),即两点纵坐标相等,则其对称轴为直线。
⑶当a>0时,当x=-时,函数有最小值;
当a<0时,当x=-时,函数有最大值。
3.图象的平移:
将二次函数y=ax2(a≠0)的图象进行平移,可得到y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象.
⑴将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<
0)平移|c|个单位,即可得到y=ax2+c的图象.其顶点是(0,c),形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同.
⑵将y=ax2的图象向左(h<
0)或向右(h>0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x-h)2的图象.其顶点是(h,0),对称轴是直线x=h,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.
⑶将y=ax2的图象向左(h<
0)或向右(h>0)平移|h|个单位,再向上(k>
0)或向下(k<
0)平移|k|个单位,即可得到y=a(x-h)2+k的图象,其顶点是(h,k),对称轴是直线x=h,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.
注意:
二次函数y=ax2与y=-ax2的图像关于x轴对称。
平移的简记口诀是“上加下减,左加右减”。
一、经典考题剖析:
【考题1】
(2009、贵阳).抛物线y=4(x+2)2+5的对称轴是______
解:
x=-2点拨:
抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为x=h.
【考题2】
(2009、宁安)函数y=x2-4的图象与y轴的交点坐标是()
A.(2,0)B.(-2,0)
C.(0,4)D.(0,-4)
D点拨:
函数y=x2-4的图象与y轴的交点的横坐标为0,x=0时,y=-4,故选D.
【考题3】在平面直角坐标系内,如果将抛物线向右平移2个单位,向下平移3个单位,平移后二次函数的关系式是()
A.
B.
C.
D.
答案:
B。
【考题4】
(2009、贵阳)已知抛物线的部分图象(如图1-2-1),图象再次与x轴相交时的坐标是()
A.(5,0)B.(6,0)
C.(7,0)D.(8,0)
解:
C点拨:
由,可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1,0),则与x轴的另一交点为(7,0)。
参考解题小诀窍。
【考题5】
(深圳)二次函数
图像如图所示,若点A(1,),B(2,)是它的图像上两点,则与的大小关系是()
A.< B.=
C.> D.不能确定
C。
点A,B均在对称轴右侧。
三、针对性训练:
(分钟)(答案:
)
1.已知直线y=x与二次函数y=ax2-2x-1的图象的一个交点M的横标为1,则a的值为()
A、2B、1C、3D、4
2.已知反比例函数y=的图象在每个象限内y随x的增大而增大,则二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为图1-2-3中的()
4.抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是()
A.(-2,1)B.(-2,-1)
C.(2,l)D.(2,-1)
5.二次函数y=2(x-3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为()
A.开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(3,5)
B.开口向下,对称轴x=3,顶点坐标为(3,5)
C.开口向上,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,5)
D.开口向上,对称轴x=-3,顶点(-3,-5)
6.二次函数的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是()
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐标系内,如果将抛物线向右平移3个单位,向下平移4个单位,平移后二次函数的关系式是()
8..已知,点A(-1,),B(,),C(-5,)在函数的图像上,则,,的大小关系是()
A.>>B.>>
C.>>D.>>
9.已知二次函数(a≠0)与一次函数y=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2),如图1-2-7所示,能使y1>y2成立的x取值范围是_______
10.(襄樊)抛物线的图像如图所示,则抛物线的解析式为_______。
11.若二次函数的顶点坐标是(2,-1),则b=_______,c=_______。
12直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标为____.
13读材料:
当抛物线的解析式中含有字母系数时,随着系数中的字母取值的不同,抛物线的顶点坐标也将发生变化.
例如:
由抛物线①,有y=②,所以抛物线的顶点坐标为(m,2m-1),即③④。
当m的值变化时,x、y的值随之变化,因而y值也随x值的变化而变化,将③代人④,得y=2x—1l⑤.可见,不论m取任何实数,抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足y=2x-1,回答问题:
(1)在上述过程中,由①到②所用的数学方法是________,其中运用了_________公式,由③④得到⑤所用的数学方法是______;
(2)根据阅读材料提供的方法,确定抛物线顶点的纵坐标与横坐标x之间的关系式_________.
14抛物线经过第一、三、四象限,则抛物线的顶点必在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
15已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y=上,点N在直线上,设点M的坐标为(a,b),则抛物线y=-abx2+(a+b)x的顶点坐标为___.
16当b<0时,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是图1-2-9中的()
考点2:
1、a的符号:
a的符号由抛物线的开口方向决定.抛物线开口向上,则a>0;
抛物线开口向下,则a<0.
2、b的符号由对称轴决定,若对称轴是y轴,则b=0;
若抛物线的顶点在y轴左侧,顶点的横坐标-<0,即>0,则a、b为同号;
若抛物线的顶点在y轴右侧,顶点的横坐标->0,即<0.则a、b异号.间“左同右异”.
3.c的符号:
c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定.若抛物线交y轴于正半,则c>0,抛物线交y轴于负半轴.则c<0;
若抛物线过原点,则c=0.
4.△的符号:
△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定.若抛物线与x轴只有一个交点,则△=0;
有两个交点,则△>0.没有交点,则△<0.
5、a+b+c与a-b+c的符号:
a+b+c是抛物线(a≠0)上的点(1,a+b+c)的纵坐标,a-b+c是抛物线(a≠0)上的点(-1,a-b+c)的纵坐标.根据点的位置,可确定它们的符号.
二、经典考题剖析:
【考题1】
(2009、潍坊)已知二次函数的图象如图l-2-2所示,则a、b、c满足()
A.a<0,b<0,c>0
B.a<0,b<0,c<0
C.a<0,b>0,c>0
D.a>0,b<0,c>0
A点拨:
由抛物线开口向下可知a<0;
与y轴交于正半轴可知c>0;
抛物线的对称轴在y轴左侧,可知-<0,则b<0.故选A.
(2009、天津)已知二次函数(a≠0)且a<0,a-b+c>0,则一定有()
A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤0
A点拨:
a<0,抛物线开口向下,经过(-1,a-b+c)点,因为a-b+c>0,所以(-1,a-b+c)在第二象限,所以抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,故选A.
【考题3】
(2009、重庆)二次函数的图象如图1-2-10,则
点(b,)在()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
点拨:
抛物线开口向下,所以a<0,顶点在y轴右侧,a、b为异号,所以b>0,抛物线交y轴于正半轴,所以c>0,所以<0,所以M在第四象限.
(60分钟)
1.已知函数的图象如图1-2-11所示,给出下列关于系数a、b、c的不等式:
①a<0,②b<0,③c>0,④2a+b<0,⑤a+b+c>0.其中正确的不等式的序号为___________-
2.已知抛物线与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_________.
3.抛物线中,已知a:
b:
c=l:
2:
3,最小值为6,则此抛物线的解析式为____________
4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数解析式:
_______________.
5.抛物线如图1-2-12所示,则它关于y轴对称的抛物线的解析式是___________.
6
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