高中数学选修21优质学案113 四种命题间的相互关系文档格式.docx
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2.原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.( √ )
3.命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( ×
4.在四种命题中,真命题的个数为0或2或4.( √ )
题型一 四种命题的真假判定
例1
(1)下列命题中为真命题的是( )
①“正三角形都相似”的逆命题;
②“若m>
0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③B.②③
C.①③D.①
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
[答案] B
[解析] ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形”.故为假命题.
②原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”.
∵方程无实根,∴判别式Δ=1+4m<
0,∴m<
-<
0.故为真命题.
③原命题的逆否命题为“若x不是无理数,则x-不是有理数”.
∵x不是无理数,∴x是有理数.
又是无理数,∴x-是无理数,不是有理数.故为真命题.
故正确的命题为②③,故选B.
(2)已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,假命题的个数为________.
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
[答案] 2
[解析] 命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,则其逆否命题为真命题.其逆命题为假命题,
则否命题也为假命题,故假命题的个数为2.
反思感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同,准确判断两个命题之间的关系是解题的关键.
跟踪训练1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假.
(1)若ab≤0,则a≤0或b≤0;
(2)若a2+b2=0,则a,b都为0.
题点 写出四种命题利用四种命题关系判断真假
解
(1)逆命题:
若a≤0或b≤0,则ab≤0.它为假命题.
逆否命题:
若a>
0且b>
0,则ab>
0.它为真命题.
所以原命题的逆命题与否命题为假命题,逆否命题为真命题.
(2)原命题与其逆命题“若a,b都为0,则a2+b2=0”均为真命题,所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题.
题型二 等价命题在证明中的应用
例2 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,则a<
2”的逆否命题的真假.
考点 逆否证法
题点 逆否证法
解 方法一 原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
对应方程的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,
因为a≥2,所以4a-7>
0,
即抛物线与x轴有交点,
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,
故原命题的逆否命题为真.
方法二 先判断原命题的真假如下:
因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,
所以不等式对应方程的判别式
Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<
0.
所以a<
<
2.
所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假,
所以原命题的逆否命题为真命题.
引申探究
1.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,则a<
2”的否命题的真假.
解 原命题的逆命题为“已知a,x为实数,若a<
2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集”.
因为a<
2,所以4a-7<
1,
当0≤Δ<
1时,抛物线与x轴有交点,
当Δ<
0时,抛物线与x轴无交点,
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不一定是空集,
故原命题的逆命题为假命题.
所以原命题的否命题为假命题.
2.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>
0的解集是R,则a<
”的逆否命题的真假.
解 先判断原命题的真假如下:
因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>
0的解集为R,且抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
所以不等式对应方程的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<
.
反思感悟
(1)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
(2)四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,其否命题与其逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视.
跟踪训练2 证明:
若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
证明 命题“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
由a=2b+1,得a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2×
(2b+1)+1=4b2+4b+1-4b2-4b-2+1=0,
显然原命题的逆否命题为真命题,所以原命题也为真命题.故原命题得证.
命题的等价性
典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:
“临时有急事,不能去了.”主人听了,随口说了句:
“该来的没有来.”张三听了脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:
“不该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去.请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.
解 张三走的原因是:
“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”,张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是:
“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”,李四觉得自己是应该走的.
[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质,本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理,得出相应的合理解释.
1.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是( )
A.若q不正确,则p不正确
B.若q不正确,则p正确
C.若p正确,则q不正确
D.若p正确,则q正确
题点 四种命题定义的应用
[答案] D
[解析] 原命题的逆命题和否命题是等价命题,只需写出原命题的否命题即可.
2.下列命题为真命题的是( )
A.命题“若x>
y,则x>
|y|”的逆命题
B.命题“若x=1,则x2>
1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>
1,则x>
1”的逆否命题
[答案] A
[解析] 对A,即判断:
若x>
|y|,则x>
y的真假,显然是真命题.
3.给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
[答案] C
[解析] 原命题是真命题,因为幂函数的图象不过第四象限,反过来,图象不过第四象限的函数不一定是幂函数,所以逆命题为假命题;
根据等价命题的真假性相同可知,否命题为假命题,逆否命题为真命题,故选C.
4.(2018·
浙江宁波四中月考)证明“若x2+y2=2,则x+y≤2”时,可以转化为证明( )
A.若x+y≤2,则x2+y2=2
B.若x+y>
2,则x2+y2≠2
C.若x2+y2≠2,则x+y>
2
D.若x+y≤2,则x2+y2≤2
[解析] 由于原命题与其逆否命题的真假性相同,
所以可以转化为证明“若x+y>
2,则x2+y2≠2”,
故选B.
5.写出命题“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的否命题.并判断该命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假.
解 否命题:
若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,真命题,
∴其逆命题是真命题,
又原命题为真命题,
∴其逆否命题是真命题.
1.四种命题之间的相互关系
2.互为逆否的命题真假性相同
在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
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