届高考数学大一轮复习第六章数列63等比数列及其前n项和学案文北师大版文档格式.docx
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al=am·
an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·
bn},仍是等比数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn==.
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
知识拓展
等比数列{an}的单调性
(1)满足或时,{an}是递增数列.
(2)满足或时,{an}是递减数列.
(3)当时,{an}为常数列.
(4)当q<
0时,{an}为摆动数列.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.( ×
)
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( ×
(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( ×
(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.( ×
(5)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( ×
(6)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( ×
题组二 教材改编
2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=______.
答案
解析 由题意知q3==,∴q=.
3.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.
答案 27,81
解析 设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×
q3,q3=27,∴q=3.
∴插入的两个数分别为9×
3=27,27×
3=81.
题组三 易错自纠
4.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为________.
答案 -
解析 ∵1,a1,a2,4成等差数列,
∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1.
又∵1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,
则b=1×
4=4,且b2=1×
q2>
0,∴b2=2,
∴==-.
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________.
答案 -11
解析 设等比数列{an}的公比为q,
∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0.
∴q3+8=0,∴q=-2,
∴=·
===-11.
6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________分钟,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB).
答案 48
解析 由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且a1=2,q=2,∴an=2n,
则2n=64×
210=216,∴n=16.
即病毒共复制了16次.
∴所需时间为16×
3=48(分钟).
题型一 等比数列基本量的运算
1.(2018·
开封质检)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于( )
A.2B.1C.D.
答案 C
解析 由{an}为等比数列,得a3a5=a,
又a3a5=4(a4-1),所以a=4(a4-1),
解得a4=2.设等比数列{an}的公比为q,
则由a4=a1q3,得2=q3,解得q=2,
所以a2=a1q=.故选C.
2.(2018届河北衡水中学二调)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且<
1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4等于( )
A.63或120B.256
C.120D.63
解析 由题意得
解得或
又<
1,所以数列{an}为递减数列,故
设等比数列{an}的公比为q,则q2==,
因为数列为正项数列,故q=,从而a1=64,
所以S4==120.故选C.
思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
题型二 等比数列的判定与证明
典例(2018·
潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:
数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 由a1=1及Sn+1=4an+2,
得a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
由①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),
故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)解 由
(1)知bn=an+1-2an=3·
2n-1,
∴-=,
故是首项为,公差为的等差数列.
∴=+(n-1)·
=,
故an=(3n-1)·
2n-2.
引申探究
若将本例中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他不变,求数列{an}的通项公式.
解 由已知得n≥2时,Sn=2Sn-1+n.
∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,
∴an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),n≥2,(*)
又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1),
∴当n=1时(*)式也成立,
故{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴an+1=2·
2n-1=2n,∴an=2n-1.
思维升华
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;
若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.
跟踪训练(2016·
全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
(1)证明 由题意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0,
所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=n-1.
(2)解 由
(1)得Sn=1-n.
由S5=得1-5=,即5=.
解得λ=-1.
题型三 等比数列性质的应用
1.已知数列{an}为等比数列,且a2a3a4=-a=-64,则tan等于( )
A.B.-
C.-D.±
答案 B
解析 由等比数列的性质可得a2a3a4=a=-64,
∴a3=-4,a7=a3q4<
0,结合a=64可得a7=-8,
结合等比数列的性质可得a4a6=a3a7=32,
即tan=tanπ
=tan=tanπ=-.
故选B.
2.(2017·
云南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )
A.40B.60
C.32D.50
解析 由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,故选B.
思维升华等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类:
(1)通项公式的变形.
(2)等比中项的变形.
(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
分类讨论思想在等比数列中的应用
典例(12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
Sn+≤(n∈N+).
思想方法指导
(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;
(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.
规范解答
(1)解 设等比数列{an}的公比为q,
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,
可得2a4=-a3,于是q==-.[2分]
又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为
an=×
n-1=(-1)n-1·
(n∈N+).[3分]
(2)证明 由
(1)知,Sn=1-n,
Sn+=1-n+
=[6分]
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S1+=+=.[8分]
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S2+=+=.[10分]
故对于n∈N+,有Sn+≤.[12分]
1.(2017·
福建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则等于( )
A.-3B.5C.-31D.33
答案 D
解析 设等比数列{an}的公比为q,则由已知得q≠1.
∵S3=2,S6=18,∴=,得q3=8,∴q=2.
∴==1+q5=33,故选D.
武汉市武昌区调研)设公比为q(q>
0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( )
A.-2B.-1
C.D.
解析 由S2=3a2+2,S4=3a4+2,得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍去)或q=,将q=代入S2=3a2+2中得a1+a1=3×
a1+2,解得a1=-1,故选B.
3.(2018届河南洛阳联考)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为( )
A.-B.-
C.D.-或
解析 由a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,可得a2+a16=-6,a2×
a16=2,显然两根同为负值,aq16=2,即有a=2,则的值为a9=±
.故选D.
4.(2017·
安阳一中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=3n-2,n∈N+,则( )
A.{an}是递增的等比数列
B.{an}是递增数列,
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- 高考 数学 一轮 复习 第六 数列 63 等比数列 及其 学案文 北师大