线性系统的时域分析法(第七讲)Word下载.doc
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突然受到恒定输入作用或突然的扰动。
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数,则斜坡时间函数是比较合适的。
(单位)阶跃函数(Stepfunction)
室温调节系统和水位调节系统
(单位)斜坡函数(Rampfunction)速度
(单位)加速度函数(Accelerationfunction)抛物线
(单位)脉冲函数(Impulsefunction)
正弦函数(Simusoidalfunction)Asinut,当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号,这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
本章讨论系统非周期信号(Step、Ramp、对正弦试验信号相应,将在第五章频域分析法,第六章校正方法中讨论)作用下系统的响应。
3.1.2动态过程和稳态过程
——瞬时响应和稳态响应TransientResponse&
Steady_stateResponse
在典型输入信号作用下,任何一个控制系统的时间响应。
1瞬态响应指系统从初始状态到最终状态的响应过程。
由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2稳态响应是指当t趋近于无穷大时,系统的输出状态,表征系统输出量最终复现输入量的程度。
3.1.3绝对稳定性,相对稳定性和稳态误差
AbsoluteStability,RelativeStability,Steady_stateError
在设计控制系统时,我们能够根据元件的性能,估算出系统的动态特性。
控制系统动态特性中,最重要的是绝对稳定性,即系统是稳定的,还是不稳定的。
如果控制系统没有受到任何扰动,或输入信号的作用,系统的输出量保持在某一状态上,控制系统便处于平衡状态。
如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后,输出量最终又返回到它的平衡状态,那么,这种系统是稳定的。
如果线性定常控制系统受到扰动量作用后,输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态,那么系统便是不稳定的。
实际上,物理系统输出量只能增加到一定的范围,此后或者受到机械止动装置的限制,或者使系统遭到破坏,也可能当输出量超过一定数值后,系统变成非线性的,而使线性微分方程不再适用。
本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
·
相对稳定性:
因为物理控制系统包含有一些贮能元件,所以当输入量作用于系统时,系统的输出量不能立即跟随输入量的变化,而是在系统达到稳态之前,表现为瞬态响应过程。
对于实际控制系统,在达到稳态以前,它的瞬态响应,常常表现为阻尼振荡过程。
——称动态过程。
稳态误差:
如果在稳态时,系统的输出量与输入量不能完全吻合,就认为系统有稳态误差。
这个误差表示系统的准确度。
稳态特性:
稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
在分析控制系统时,我们既要研究系统的瞬态响应,如达到新的稳定状态所需的时间,同时也要研究系统的稳态特性,以确定对输入信号跟踪的误差大小。
动态性能指标:
在许多实际情况中,控制系统所需要的性能指标,常以时域量值的形式给出。
通常,控制系统的性能指标,系统在初始条件为零(静止状态,输出量和输入量的各阶导数为0),对(单位)阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应,在达到稳态以前,常常表现为阻尼振荡过程,为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性,通常采用下列一些性能指标。
①延迟时间:
(DelayTime)响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间,叫延迟时间。
jklmno
②上升时间(RiseTime)响应曲线从稳态值的10%上升到90%,所需的时间。
〔5%上升到95%,或从0上升到100%,对于欠阻尼二阶系统,通常采用0~100%的上升时间,对于过阻尼系统,通常采用10~90%的上升时间〕,上升时间越短,响应速度越快。
③峰值时间(PeakTime):
响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
④调节时间(SettlingTime):
在响应曲线的稳态线上,用稳态值的百分数(通常取5%或2%)作一个允许误差范围,响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内,所需的时间。
⑤最大超调量(MaximumOvershoot):
指响应的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比,即
或评价系统的响应速度;
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
评价系统的阻尼程度。
3.2一阶系统的时域分析
用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
图3-3(a)所示的RC电路,其微分方程为
(3-2)
其中C(t)为电路输出电压,r(t)为电路输入电压,T=RC为时间常数。
图3-3一阶系统电路图、方块图及等效方块图
当初始条件为零时,其传递函数为
(3-3)
这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号,分析该系统的时域响应。
3.2.1单位阶跃响应
Unit-StepResponseofFirst-orderSystem
因为单位阶跃函数的拉氏变换为,则系统的输出由式(3-3)可知为
对上式取拉氏反变换,得
(3-4)
注:
R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。
这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统,而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在时的斜率为,如果系统输出响应的速度恒为,则只要t=T时,输出c(t)就能达到其终值。
如图3-4所示。
由于c(t)的终值为1,因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
3.2.2一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时,R(s)=1,输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同,即
这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t),因为,其表达式为
(3-5)
3.2.3一阶系统的单位斜坡响应
Unit-rampResponseoffirst-orderSystems
当
对上式求拉氏反变换,得:
(3-6)
因为(3-7)
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
上式表明:
①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。
稳态时,输入和输出信号的变化率完全相同
②由于系统存在惯性,从0上升到1时,对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T,这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度,还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4一阶系统的单位加速度响应
上式表明,跟踪误差随时间推移而增大,直至无限大。
因此,一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应式
输入信号
输出响应
传递函数
微
分
#
1
1(t)
t
等价关系:
系统对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数;
系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分;
积分常数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性,适用于任何阶线性定常系统,但不适用于线性时变系统和非线性系统。
因此,研究线性定常系统的时间响应,不必对每种输入信号形式进行测定和计算,往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3二阶系统的时域分析
二阶系统:
凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统。
3.3.1二阶系统的数学模型
随动系统(位置控制系统)如图3-6所示。
⑴该系统的任务:
控制机械负载的位置。
使其与参考位置相协调。
⑵工作原理:
用一对电位计作系统的误差测量装置,它们可以将输入和输出位置信号,转换为与位置成正比的电信号。
输入电位计电刷臂的角位置,由控制输入信号确定,角位置就是系统的参考输入量,而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比,输出电位计电刷臂的角位置,由输出轴的位置确定。
电位差就是误差信号。
桥式电位器的传递函数
该信号被增益常数为的放大器放大,(应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗)
放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。
电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号,电动机就产生力矩以转动输出负载,并使误差信号减少到零。
(3)当激磁电流固定时,电动机产生的力矩(电磁转距)为:
(3-10)
电动机的转矩系数
为电枢电流
对于电枢电路
(3-11)
电动机电枢绕组的电感和电阻。
电动机的反电势常数,电动机的轴的角位移。
电动机的力矩平衡方程为:
(3-12)
J:
为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的组合转动惯量。
f:
为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
(3-13)
根据图3-7,可以求出系统的开环传递函数(即前向通路传递函数)因为反馈回路传递函数为1
(3-14)
如果略去电枢电感
(3-15)
增益
阻尼系数,由于电动机反电势的存在,增大了系统的粘性摩擦。
开环增益
机电时间常数
那么,不考虑负载力矩的情况下,随动系统的开环传递函数可以简化为:
(3-16)
相应的闭环传递函数(3-17)
为了使研究的结果具有普遍意义,可将式(3-17)表示为如下标准形式
(3-18)
-自然频率(或无阻尼振荡频率)
-阻尼比(相对阻尼系数)
二阶系统的标准形式,相应的方块图如图3-8所示
二阶系统的动态特性,可以用和这两个参量的形式加以描述
二阶系统的特征方程:
(3-19)
(3-20)
3.3.2二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值
-临界阻尼系数,时,阻尼系数
两个正实部的特征根发散
,闭环极点为共扼复根,位于右半S平面,这时的系统叫做欠阻尼系统
,为两个相等的根
,两个不相等的根
,虚轴上,瞬态响应变为等幅振荡
(1)欠阻尼()二
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