高三上学期第三次月考 数学理10文档格式.docx
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莞(植物名,
俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?
”意思是:
今有蒲生
长1日,长为3尺;
莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为()(结果保留一位小数.参考数据:
,)()
A.1.3日B.1.5日C.2.6日D.2.8日
11.在三棱锥中,底面是边长为2的正三角形,顶点在底面上的射影为的中心,若为的中点,且直线与底面所成角的正切值为,则三棱锥外接球的表面积为()
A.B.C.D.
12.定义在上的偶函数,当时,,且在上恒成立,则关于的方程的根的个数叙述正确的是()
A.有两个B.有一个C.没有D.上述情况都有可能
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示.则这100名学生中,该月饮料消费支出超过150元的人数是.
14.若直线始终平分圆的周长,则的最小值为.
15.已知点是抛物线上一点,为其焦点,以为圆心、为半径的圆交准线于两点,为正三角形,且的面积是,则抛物线的方程是________.
16.设是的三边垂直平分线的交点,是的三边中线的交点,分别为角的对应的边,已知,则的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知分别为锐角内角的对边,且.
(1)求角;
(2)若,且的面积为,求的值.
18.在等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列是首项为1,公比为(是常数,)的等比数列,求的前项和.
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点.
(Ⅰ)求证:
平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
20.某市根据地理位置划分成了南北两区,为调查该市的一种经济作物(下简称作物)的生长状况,用简单随机抽样方法从该市调查了500处作物种植点,其生长状况如表:
其中生长指数的含义是:
2代表“生长良好”,1代表“生长基本良好”,0代表“不良好,但仍有收成”,﹣1代表“不良好,绝收”.
(1)估计该市空气质量差的作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例;
(2)能否有99%的把握认为“该市作物的种植点是否绝收与所在地域有关”?
(3)根据
(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该市作物的种植点中,绝收种植点的比例?
请说明理由.
21.已知椭圆的两个顶点分别为,,点为椭圆上异于的点,设直线的斜率为,直线的斜率为,.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若,设直线与轴交于点,与椭圆交于两点,求的面积的最大值.
22.已知函数与.
(1)若曲线与直线恰好相切于点,求实数的值;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:
.
理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
【解析】
1.,故选A.
2.得,.故选D
3.,所以,故选D.
4.,故选C.
5.双曲线C1:
﹣=1(m>0)的渐近线为y=±
,
双曲线C2:
﹣=1的渐近线为y=±
2x,
∵两个双曲线有相同的渐近线,
∴=2,即=4,得m=1,
则双曲线C1:
﹣x2=1,则对应的焦点坐标为E(0,),F(0,﹣),
﹣=1的焦点坐标为G(2,0),H(﹣2,0),
则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S△GHE=2×
=20,
故选:
6.当时,z取得最大值4,故选A.
7.由表中数据可得,因为回归直线必过,代入回归方程得,故选B.
9..故选A
10.蒲、莞长度相等:
.选C.
11.∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心,
而且底面BCD是正三角形,
∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥,∴AB=AC=AD,
令底面三角形BCD的重心(即中心)为P,
∵底面BCD为边长为2的正三角形,DE是BC边上的高,
∴DE=,∴PE=,DP=
∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2,即
∴AP=,
∵AD2=AP2+DP2(勾股定理),∴AD=2,于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2,
∴三棱锥为正四面体,构造正方体,由面上的对角线构成正四面体,故正方体的棱长为,
∴正方体的对角线长为,∴外接球的半径为
∴外接球的表面积=4πr2=6π.
D.
12.由题意知:
在上单调递增,在上恒成立,必有,则的根有2个,故选A.
二填空题
13
14
15
16
30
y2=16x
【解析】13.该月饮料消费支出超过150元的频率:
人数:
14.直线平分圆周,则直线过圆心,所以有,
(当且仅当时取“=”).
15.解:
由题意可得=cos30°
且|DF|=p,
可得|BF|=,从而|AF|=,
由抛物线的定义可得A到准线的距离也为,
又△ABC的面积为,
可得••=,
解得p=8,则抛物线的方程为y2=16x.
16.设AB,AC的中点为D,E,
又,代入得:
,又,所以,代入得的取值范围为.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.解:
(1)∵a=2csinA,
∴正弦定理得,
∵A锐角,∴sinA>0,
∴sinC=,
又∵C为锐角,
∴C=,
(2)∵三角形ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC,即7=a2+b2﹣ab,
又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×
=.即ab=6,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25,
∵由于a+b为正,
∴a+b=5.
18.解:
(Ⅰ)设等差数列的公差是.
∵,∴=-3.
∴,解得.∴数列的通项公式为.
(Ⅱ)∵数列是首项为1,公比为的等比数列,
∴,即,∴.
故当时,;
当时,.
19.
解:
(Ⅰ)证明:
∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC,
∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,
∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.
(Ⅱ)如图,以C为原点,取AB中点F,、、分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0).
设P(0,0,a)(a>0),则E(,﹣,),
=(1,1,0),=(0,0,a),=(,﹣,),
取=(1,﹣1,0),则•=•=0,为面PAC的法向量.
设=(x,y,z)为面EAC的法向量,则•=•=0,
即取x=a,y=﹣a,z=﹣2,则=(a,﹣a,﹣2),
依题意,|cos<,>|===,则a=2.
于是=(2,﹣2,﹣2),=(1,1,﹣2).
设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=|cos<,>|==,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.
20.解:
(1)调查的500处种植点中共有120处空气质量差,其中不绝收的共有110处,
∴空气质量差的A作物种植点中,不绝收的种植点所占的比例.
(2)列联表如下:
收
绝收
合计
南区
160
40
200
北区
270
300
430
70
500
∴K2=≈9.967.
∵9.967>6.635,
∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“.
(3)由
(2)的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关,
因此在调查时,先确定该市南北种植比例,再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好.
21.解:
(Ⅰ),
整理得:
又,,所以,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又,所以椭圆C的方程为.
设直线l的方程为:
代入椭圆的方程有:
设,
令,则有,
代入上式有,
当且仅当即时等号成立,
所以的面积的最大值为.
22.解析:
(1)
所以
(2)方法一:
时,
记,则,又记
(ⅰ)时,时,,
不恒成立.
(ⅱ)时,在递增,,
(ⅲ)时,在递减,,
恒成立.
综上所述,实数的取值范围为:
方法二:
(先找必要条件)
注意到时,恰有
令
则
在恒成立的必要条件为
即
下面证明:
当时,
在递减,
恒成立,即也是充分条件,故有.
方法三:
(分参)
即时,,时,显然成立;
时,即4分
令,则
在上单调递减
故8分
(3)不妨设为前项和,则
要证原不等式,只需证
而由
(2)知:
当时恒有
即当且仅当时取等号
取,则
即即
即成立,从而原不等式获证.
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