江西省赣中南五校届高三上学期开学摸底考试数学文理通用试题附答案 1.docx
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江西省赣中南五校届高三上学期开学摸底考试数学文理通用试题附答案 1.docx
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江西省赣中南五校届高三上学期开学摸底考试数学文理通用试题附答案1
赣中南五所重点中学2017届高三上学期开学摸底数学试卷
文理合卷试题
第I卷选择题60分
一、选择题:
本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.
1.已知集合H={},集合K={1,1.5,2,0,-1,-2},则H∩K为()
A.{1,2}B.{1,2,0,-1}C.(-1,2]D.{1.5,0}
2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,推测数2019应标在( )
A.第504个正方形的左下角 B.第504个正方形的右下角
C.第505个正方形的左上角 D.第505个正方形的右下角
3.如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点E从点D出发,沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动,点F从点B出发,沿射线AB以每秒3个单位的速度运动,当点E运动到点A时,E、F两点停止运动.连结BD,过点E作EH⊥BD,垂足为H,连结EF,交BD于点G,交BC于点M,连结CF.给出下列结论:
①△CDE∽△CBF;②∠DBC=∠EFC;③ =;④GH的值为定值;⑤若GM=3EG,则tan∠FGB=.上述结论中正确的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.设分别是方程和的根(其中), 则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数.若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若关于的方程恒有实数解,则实数m的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:
置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A. B. C. D.
8.函数f(x)=2x+sin x的部分图像可能是( )
9.已知O为坐标原点,双曲线的左焦点为,以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B,O三点,且.关于的方程的两个实数根分别为和,则以为边长的三角形的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
10.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个命题:
①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是()
A.①②B.②④C.③④D.①③
11.已知F1、F2分别是双曲线(,)的左、右焦点,且F2是抛物线(p>0)的焦点,双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P.若线段的中垂线恰好经过焦点F1,则双曲线C1的离心率是( )
A. B. C. D.
12.若复数满足,其中为虚数为单位,则=( )
A.1-i B.1+i C. -1-i D. i-1
第II卷非选择题90分
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.执行如图所示的程序框图,若输出S的值为﹣18,则输入的S值为___________.
14.已知等差数列{an}中,a1=1,S11=33,则公差d等于______________.
15.函数y=f(x)为R上可导函数,则f′(x0)=0是x0为函数f(x)极值点的_____________条件.
16.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率的取值范围为_______________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值
18.(12分)如图1,在正方形中,,是边的中点,是边上的一点,对角线分别交、于、两点.将折起,使重合于点,构成如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证:
面;
(Ⅱ)试探究:
在图1中,在什么位置时,能使折起后的几何体中//平面,并给出证明.
19.(12分)在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;
(Ⅱ)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A的概率.
20.(12分)已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的离心率e=,并且经过定点P(,).
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)问是否存在直线y=﹣x+m,使直线与椭圆交于A、B两点,满足•=,若存在求m值,若不存在说明理由.
21.(12分)已知函数。
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:
若a<5,则对任意有。
22.(10分)已知(a是常数,a∈R)
(Ⅰ)当a=1时求不等式的解集;
(Ⅱ)如果函数恰有两个不同的零点,求a的取值范围.
高三上学期开学数学试卷参考答案
一、选择题:
本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。
1.A2.C3.B4.A5.B6.C
7.B8.A9.A10.D11.A12.A
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.-414.2/5.
15.必要不充分16.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)
(1)∵函数的最大值为3,∴即
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期为
∴,故函数的解析式为
(2)∵
即
∵,∴
∴,故
18.(12分) (Ⅰ),………………………………2分
又,………………………………4分
面.………………………………5分
(Ⅱ)当点F为BC的中点时,面.………………………………6分
证明如下:
当点F为BC的中点时,
在图
(1)中,分别是,的中点,
所以,………………………………8分
即在图
(2)中有.………………………………9分
又,,………………………………11分
所以面.………………………………12分
19.(12分)
解:
(Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,
所以该考场有10÷0.25=40人,
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为:
40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3人;
(Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为:
×=2.9;
(Ⅲ)因为两科考试中,共有6人得分等级为A,又恰有两人的两科成绩等级均为A,
所以还有2人只有一个科目得分为A,
设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,
则在至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为:
Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有6个基本事件.
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个,
则P(B)=.
20.(12分)
解(Ⅰ)由题意:
且,又c2=a2﹣b2
解得:
a2=4,b2=1,即:
椭圆E的方程为
(1)
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2)
(*)
所以
=
由,得
又方程(*)要有两个不等实根,
所以m=±2.
21.(12分)(Ⅰ)的定义域为
当时,即时,的单调增区间为,;单调减区间为.
当时,即时,的单调增区间为
(Ⅱ)要证:
对任意有。
不防设,即证;即证
设,
即证当时,.即证在单调递增.
而
22.(10分)
(Ⅰ)
∴的解为 .
(Ⅱ)由得,.
令,,作出它们的图象,可以知道,当时,
这两个函数的图象有两个不同的交点,
所以,函数有两个不同的零点.
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