江西省兴国县将军中学届高三第二次联考数学理附答案.docx
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江西省兴国县将军中学届高三第二次联考数学理附答案
江西省兴国县将军中学2014届高三第二次联考
数学(理)试题
一、选择题(本大题共10小题。
每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求,请把正确选项的代号填在答题卷的相应位置上)
1.若复数是纯虚数(i是虚数单位),则实数a的值为()
A.6 B.-6 C.3 D.-3
2.设全集U=R,A={x|<2},
B={x|},
则右图中阴影部分表示的集合为()
A.{x|1≤x<2} B.{x|x≥1}
C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}
3.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图
如图所示,则其侧视图的面积为()
A.B.
C.D.
4.一算法的程序框图如右图所示,若输出的,
则输入的可能为( )
A.B.
C.或D.或
5.若,则=()
A.B.C.D.
6.某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、
大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车。
每车限坐4名同学
(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘
同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年
级的乘坐方式共有( )
A.24种B.18种C.48种D.36种
7.函数的所有零点之和等于()
A.2B.4C.6D.8
8.设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:
①
在上是单调函数;②在上的值域是,则称区间是函
数的“和谐区间”.下列结论错误的是()
A.函数存在“和谐区间”
B.函数不存在“和谐区间”
C.函数存在“和谐区间”
D.函数不存在“和谐区间”
9.三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点是椭圆的一个短轴端点,
如果以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是
()
A.B.C.D.
10.定义空间两个向量的一种运算,则关于空间向量上述运算的以下结论中:
①;②;
③;④若,则。
恒成立的有()
A.①③B.①④C.②③D.②④
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷的相应位置上)
11.观察下列不等式:
①;②;③;…
则第个不等式为.
12. 已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组确定,若为区域上的动点,点的坐标为,则的最大值为.
13.对任意正整数,定义的双阶乘如下:
当为偶数时,;当为奇数时,`。
现有四个命题:
①;②;③个位数为0;④个位数为5。
其中正确命题的序号有______________.
14.设等差数列满足:
,公差.若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是.
15.选做题(考生注意:
请在
(1)
(2)两题中,任选做一题作答,若多做,则按
(1)题计分)
(1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,圆的参数方程为
为参数,.以为极点,轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,
直线的极坐标方程为.当圆上的点到直线的最大距离为时,圆的半径
.
(2)(不等式选讲选做题)对于任意实数,不等式恒成立时,若实数的
最大值为3,则实数的值为.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
请在答题卷相应题目的答题区域内作答)
16.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为.
(Ⅰ)求tan()的值;
(Ⅱ)求的值.
17.(本小题满分12分)
某企业招聘工作人员,设置、、三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊
五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加组测试,丙、丁两人各自独立参加组测试.已
知甲、乙两人各自通过测试的概率均为,丙、丁两人各自通过测试的概率均为.戊参加
组测试,组共有6道试题,戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答,至少答对3题
则竞聘成功.
(Ⅰ)求戊竞聘成功的概率;
(Ⅱ)求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率;
(Ⅲ)记、组测试通过的总人数为,求的分布列和期望.
18.(本小题满分12分)
已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+8.
(Ⅰ)求公差d的值;
(Ⅱ)若a1=1,设Tn是数列{}的前n项和,求使不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值;
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,∥,,平面⊥底面,为的中点,是棱上的点,,,.
(Ⅰ)求证:
平面⊥平面;
(Ⅱ)若为棱的中点,求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)若二面角大小为30°,求的长.
20.(本小题满分13分)
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线l:
x=﹣将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:
3.
设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,
线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
21.(本小题满分14分)
已知实数,函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时,判断的单调性,并说明理由;
(3)求实数的范围,使得对于区间上的任意三个实数,都存在以为边长的三角形.
参考答案
(Ⅱ),所以
∵为锐角,∴,∴=-------------------12分
17.解:
(I)设戊竞聘成功为A事件,则
…………3分
(Ⅱ)设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件
…………6分
(Ⅲ)可取0,1,2,3,4
0
1
2
3
4
P
…………12分
18.解:
(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,
∵S4=2S2+8,即4a1+6d=2(2a1+d)+8,化简得:
4d=8,
解得d=2.……………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由a1=1,d=2,得an=2n-1,…………………………………………5分
∴=.…………………………………………6分
∴Tn=
=
=≥,…………………………………………8分
又∵不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立,
∴≥,…………………………………………10分
化简得:
m2-5m-6≤0,解得:
-1≤m≤6.
∴m的最大正整数值为6.……………………………………………………12分
19.(Ⅰ)∵AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,
∴CD//BQ.……………………1分
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD,……………………2分
∴BQ⊥平面PAD.……………………3分
∵BQ平面PQB,
∴平面PQB⊥平面PAD.……………4分
另证:
AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ,
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.……1分
∵PA=PD,∴PQ⊥AD.………2分
∵PQ∩BQ=Q,
∴AD⊥平面PBQ.……………3分
∵AD平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD.…………4分
(Ⅱ)∵PA=PD,Q为AD的中点,
∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且
平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.…………5分
(注:
不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则,,,,
∵M是PC中点,∴…………6分
∴
设异面直线AP与BM所成角为
则=…………7分
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为…………8分,
(注:
用传统方法相应给分,找角2分,求解2分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面BQC的法向量为…………9分
由,且,得……10分
又,
∴平面MBQ法向量为.……………11分
∵二面角M-BQ-C为30°,∴,
∴.∴……………12分
(注:
用其它方法相应给分)
20、解:
(Ⅰ)设F2(c,0),则=,所以c=1.
因为离心率e=,所以a=,所以b=1
所以椭圆C的方程为.----------------------4分
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=﹣,
此时P(,0)、Q(,0),.------6分
当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,
M(﹣,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(x1+x2)+2(y1+y2)=0,
则﹣1+4mk=0,∴k=.-----------------------------------8分
此时,直线PQ斜率为k1=﹣4m,PQ的直线方程为,
即y=﹣4mx﹣m.
联立消去y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.
所以,.-------------------------10分
于是=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)
=
==.
令t=1+32m2,由得1<t<29,则.
又1<t<29,所以.
综上,的取值范围为[﹣1,).-------------------------------13分
21、解:
易知的定义域为,且为偶函数.
(1)时,
时最小值为2.----------------------------------3分
(2)时,
时,递增;时,递减;--------------------5分
为偶函数.所以只对时,说明递增.
设,所以,得
所以时,递增;------------8分
(3),,
从而原问题等价于求实数的范围,使得在区间上,恒有---10分
①当时,在上单调递增,
由得,从而;
②当时,在上单调递减,在上单调递增,
,
由得,从而;
③当时,在上单调递减,在上单调递增,
,
由得,从而;
④当时,在上单调递减,
由得,从而;
综上,.---------------------------------------14分
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