随机过程考试试题及答案详解1Word下载.doc
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(3)参数为的指数分布,概率密度函数,分布函数
(4)的正态分布,概率密度函数,分布函数,若时,其为标准正态分布。
【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。
(1)因为上的均匀分布,为常数,故亦为均匀分布。
由的取值范围可知,为上的均匀分布,因此其一维概率密度,一维分布函数;
(2)根据相关定义,均值函数;
相关函数;
协方差函数(当时为方差函数)
【注】;
求概率密度的通解公式
2、(15分)设是参数为的维纳过程,是正态分布随机变量;
且对任意的,与均独立。
令,求随机过程的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意,,,因此服从于正态分布。
故:
均值函数;
3、(10分)设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有180人,即;
且每个顾客的消费额是服从参数为的指数分布。
求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。
【解答】此题可参见课本习题3.10题。
由题意可知,每个顾客的消费额是服从参数为的指数分布,由指数分布的性质可知:
,故,则由复合泊松过程的性质可得:
一天内商场营业额的数学期望;
一天内商场营业额的方差。
4、(15分)设马尔可夫链的转移概率矩阵为:
(1)求两步转移概率矩阵及当初始分布为
时,经两步转移后处于状态2的概率。
(2)求马尔可夫链的平稳分布。
【解答】可参考教材例4.3题及4.16题
(1)两步转移概率矩阵
当初始分布为时,
故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。
(2)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态,所以平稳分布存在。
得如下方程组
解上述方程组得平稳分布为
5、(15分)设马尔可夫链的状态空间,转移概率矩阵为:
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
【解答】此题比较综合,可参加例4.13题和4.16题
画出状态转移图如下:
4
2
1
5
3
(1)由上图可知,状态分类为
(2)由上图及常返闭集定义可知,常返闭集有两个,下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。
A、对常返闭集而言,解方程组
则各状态的平均返回时间分别为
B、对常返闭集而言,解方程组
6、(15分)设是参数为的泊松过程,计算。
【解答】
7、(15分)考虑一个从底层启动上升的电梯。
以记在第层进入电梯的人数。
假定相互独立,且是均值为的泊松变量。
在第层进入的各个人相互独立地以概率在第层离开电梯,。
令=在第层离开电梯的人数。
(1)计算
(2)的分布是什么
(3)与的联合分布是什么
【解答】此题与本书联系不大,据有关方面信息,此次考试此题不考。
以记在第层乘上电梯,在第层离去的人数,则是均值为的泊松变量,且全部相互独立。
因此:
(1)
(2)由泊松变量的性质知,
(3)因,则,为期望。
8、(15分)一质点在1,2,3点上作随机游动。
若在时刻质点位于这三个点之一,则在内,它都以概率分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率及平稳分布。
【解答】参见教材习题5.2题
依题意,由得,,柯尔莫哥洛夫向前方程为
,
由于状态空间,故
所以
解上述一阶线性微分方程得:
由初始条件
确定常数,得
故其平稳分布
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