高等数学方明亮版第十一章答案Word文档格式.doc
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,
即.
再对求导,得
,
即,
所以是所给微分方程的解.
3.确定下列各函数关系式中所含参数,使函数满足所给的初始条件.
(1),;
(2),.
解
(1)将,代入微分方程,得
所以,所求函数为.
(2),将,分别代入
和,
得
,,
4.能否适当地选取常数,使函数成为方程的解.
解因为,,所以为使函数成为方程的解,只须满足
而,因此必有,即或,从而当,或时,函数均为方程的解.
5.消去下列各式中的任意常数,写出相应的微分方程.
(2);
(4).
解注意到,含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程;
含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程.
(1)由两边对求导,得
代入原关系式,得所求的微分方程为
.
(2)由两边对求导,得
即
而,故所求的微分方程为
化简得
(3)由两边对求导,得
两边再对求导,得
这样便可得所求的微分方程为
(4)由两边对求导,得
将代入上式,并化简得
对上式两边再对求导,得
故所求的微分方程为
习题11-2
1.求下列微分方程的通解或特解:
(2);
(4);
(5),;
(6),.
解
(1)分离变量,得
两端积分,得
即
所以原方程的通解为
注该等式中的与等本应写为与等,去绝对值符号时会出现号;
但这些号可认为含于最后答案的任意常数中去了,这样书写简洁些,可避开绝对值与正负号的冗繁讨论,使注意力集中到解法方面,本书都做这样的处理.
(2)原方程分离变量,得
两端积分,得
故原方程的通解为
(3)原方程可化成
分离变量,得
两端积分,得,
即
是原方程的通解.
(4)分离变量,得
两边积分,得
即
(5)分离变量,得
由定解条件,知
,即,
故所求特解为
,即.
(6)将方程两边同除以,得
积分后得
(其中),
从而有
代入初始条件,得
因此,所求方程满足初始条件的特解为
即
2.一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分,求此曲线的方程.
解设曲线的方程为,过点的切线与x轴和y轴的交点分别为及,则点就是该切线的中点.于是有
,即,且,
分离变量后,有
积分得
由定解条件,有
故为所求的曲线.
3.一粒质量为20克的子弹以速度(米/秒)打进一块厚度为10厘米的木板,然后穿过木板以速度(米/秒)离开木板.若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比(比例系数为k),问子弹穿过木板的时间.
解依题意有
即
两端积分得,
(其中20克=0.02千克),
代入定解条件,得
故有.
设子弹穿过木板的时间为秒,则
又已知时,米/秒,于是
从而,
为此有
所以
(秒),
故子弹穿过木板运动持续了(秒).
4.求下列齐次方程的通解或特解:
(4);
(6),.
解
(1)原方程变形,得
令,即,有,则原方程可进一步化为
两端积分得
即
将代入上式并整理,得原方程的通解为
(2)原方程变形,得
两端积分,得
(其中).
(3)原方程变形,得
令,有,则原方程可进一步化为
两端积分,得
即
(4)显然,原方程是一个齐次方程,又注意到方程的左端可以看成是以为变量的函数,故令,即,有,则原方程可化为
整理并分离变量,得
(5)原方程可化为
令,有,则原方程可进一步化为
两端积分,得
将代入上式,得
代入初始条件,得
(6)原方程可写成
令,即,有,则原方程成为
分离变量,得
两端积分,得
即
代入并整理,得通解
由初始条件,得.于是所求特解为
5.设有连结原点O和的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点,曲线弧与直线段所围成图形的面积为,求曲线弧的方程.
解设曲线弧的方程为,依题意有
y
x
O
1
A(1,1)
P(x,y)
上式两端对x求导,
即得微分方程
令,有,则微分方程可化为
积分得
因,故有
又因曲线过点,故.于是得曲线弧的方程是
6.化下列方程为齐次方程,并求出通解:
(2).
解
(1)原方程可写成
令,解得交点为,.作坐标平移变换,,有
所以原方程可进一步化为
(*)
这是齐次方程.
设,则,,于是(*)式可化为
变量分离,得
两端积分,得
即
,
将代入上式,得原方程的通解为
(2)原方程可写成
该方程属于类型,一般可令.
令,有,则原方程可化为
积分得
习题11-3
1.求下列微分方程的通解:
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
解
(1)
(2)原方程可化为
故通解为
(3)原方程可化为
(4)所给方程的通解为
.
(5)方程可化为
(6)
.
2.求下列微分方程的特解:
(2),;
(3),.
代入初始条件,得.故所求特解为
(2)
,
代入初始条件,得,故所求特解为
(3)
,
3.求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点处的切线斜率等于.
解设曲线方程为,依题意有,即.从而
.
由,,得.故所求曲线的方程为
4.设曲线积分在右半平面()内与路径无关,其中可导,且,求.
解依题意及曲线积分与路径无关的条件,有
记,即得微分方程及初始条件为
,.
于是,
代入初始条件,得,从而有
5.求下列伯努利方程的通解:
(3);
解
(1)方程可以化为
令,则,即.代入上面的方程,得
即
其通解为
(2)原方程化为
其通解为
(3)原方程化为
令,则,于是原方程化为
其通解为
,
(4)原方程化为
令,则,则原方程化为
其通解为
,
或写成
习题11-4
1.求下列全微分方程的通解:
(3).
解
(1)易知,,.因为
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- 高等数学 明亮 第十一 答案